CHAPITRE VII

posées (i)...A = Oj B = Oj il faut que les quo tiens ne contiennent y dans aucun dénominateur.

En effet; supposons que la division de A par B ne puisse pas conduire à un reste R' d’un degré moindre par rapport à x que B, sans que le quotient Q' renferme y en dénominateur; ce quotient, entier par rapporta x, mais fractionnaire par rap-

port à y, sera de la forme ÿ , Y contenant y. L’identité

A = BQ'+ R', deviendra A = ™+R'i d’°“ R'=A —

Si l’on met dans cette dernière pour x et y des valeurs qui

BN

réduisent A et B à zéro, Y pourra devenir nul , — et R' pourront se présenter sous la forme ^ ; de sorte qu’on ne saura plus si R' est réduit à zéro.

On ne sera donc pas certain que toutes les solutions des équations

(1) . . . A = o, B = o, se trouvent parmi les solutions des équations

Réciproquement , lorsque des valeurs de x et^ qui réduisent B et R' à zéro rendent Y nul , la valeur de A se présente sous la

forme - , de sorte qu’on ignore si elles réduisent A à zéro.

Les équations (2) peuvent donc fournir des solutions étrangères aux équations (1).

On ne peut donc plus affirmer que les solutions des équations A = o', B = o , sont les mêmes qüe celles des équations B= o, R' = o. Et par conséquent, on ne saurait plus faire usage de la méthode que nous avons précédemment indiquée.

Pour remédier à cet inconvénient, on évite les quotiens fractionnaires, en multipliant les dividendes par des fonctions convenables de y.

Ainsi, dans la division de A par B, 011 multiplie les dividendes successifs par des facteurs tels que le coefficient du

premier ternie de chaque dividende partiel soit exactement divisible par le coefficient du premier terme de B. Si a désigne le produit de tous ces facteurs, la division de A a par fi fournira un quotient entier Q' et un reste R' < B. On aura

A a = BQ' + R'.

Cette identité démontre que toute solution x = *t, y~£ des équations proposées (i)... A = o , B = o, convient aux équations (2) ... B = o , R' = o ; car aucune des quantités entières a j Q' ne saurait devenir infinie quand on y fait x=a, y= Q.

La réciproque n’est pas généralement vraie : une solution x = a! , y ~ C j des équations (2) t peut ne pas convenir aux équations (t). En effet; les valeurs a , de x et y , substituées dans l’identité Aa=BQ' -pR', donnant A a—o , il peut arriver qu’elles ne réduisent pas A à zéro, puisque a étant fonction de y , l’hypothèse y' = C' peut rendre a nul.

Quand la valeur y=G' ne réduit pas le multiplicateur a à zéro, la solution x =«, y — 6', convient nécessairement aux équations (1).

Par conséquent, toutes les solutions des équations (1) se trouvent parmi les solutions des équations (2) ; mais les équations (2) peuvent donner en outre des valeurs de x et y» étrangères aux équations (1) proposées.

Opérant sur les équations (2) comme sur les équations (i), on est conduit à diviser B par R' ; soit b le produit de tous les facteurs par lesquels il faudrait multiplier les dividendes partiels pour éviter les coefliciens fractionnaires, la division de B b par R' fournira un quotient entier Q" et un reste R" <R'.

On aura U = R'Q" + R".

Les identités A a = BQ' -f- R' , B6 = R'Q" -j- R" , démontrent que toutes les solutions des équations

réduisent les restes successifs R', R", à zéro. Ces solutions se trouvent donc parmi celles du système (3). . ,R'=o, R" = o.

La réciproque n’est pas généralement vraie, car une solution

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