CHAPITRE VII

x = », y—G, du système (3). . . R' = o; R" = o, peut ne pas convenir aux équations proposées (i). . .A=o, B = o.

Par exemple, siy'=C' donne 6=o, les valeurs x=* , y — Q>' qui rendent R' et R" nuis , pourront donner B6 = o, sans réduire B à zéro; de sorte que la solution x=*, y—& du système (3), sera étrangère au système (i).

Mais, si^'=»' ne réduit ni b ni a à zéro, on sera certain que x = «', y — G' est une solution' des équations (i).

En continuant ainsi à diviser les restes successifs les uns par les autres, on verra que toutes les valeurs de xety qui conviennent aux équations proposées, réduisent deux, restes consécutifs quelconques à zéro ; mais que des valeurs de x et y qui réduisent deux restes consécutifs à zéro, peuvent ne pas convenir aux équations proposées.

Par conséquent , si l’on continue les calculs jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste R indépendant de Xj et si R, désigne le reste précèdent , le système (4) . . . R = o , R, = o , fournira toutes les solutions des équations (i)... A = o, B = Oj et quelquefois il donnera en outre des valeurs de x et y qui ne conviendront pas aux équations (i) proposées. On suppose toujours qu’on ne supprime dans les restes successifs aucun facteur fonction des inconnues.

L’équation R = o renferme donc toutes les bonnes valeurs dey', mais quelquefois elle fournit en outre des valeurs dey» qui ne conviennent pas aux équations proposées.

Lorsque le reste R indépendant de x n’a aucun commun diviseur fonction de y avec les quantités a , b, etc., par lesquelles on a multiplié les dividendes successifs pour rendre les divisions possibles, les solutions des équations proposées sont les mêmes que celles des équations R, = o, R = o; de sorte que R = o est X équation finale en y.

En effet ; supposons , pour fixer les idées , que la deuxième division conduise à un reste R" indépendant de x. On aura

(2)... Aa = BQ'+R', Bi=:R'Q" + R".

Il s’agit de faire voir que R" étant premier avec a et arec b.

les solutions du système (i). . . A=o, B =o, sont les mêmes que celles du système (3). .. R'=o, R'=o.

Les identités (2) démontrent que toute solution xs«, y = C, du système (1) donne (3)... lt'p=o, R" = o.

ItécimoQUEMENT , soit x = ct, y = C, une solution du système (3); les identités (2) prouvent que ces valeurs de x et jr réduisent B et A à zéro; car R* étant premier avec b et avec a , la valeur y — C tirée de R" = o , ne peut réduire ni b ni a à zéro.

Par la même raison , lorsqu’une valeur de y tirée de R'=o , ne réduit à zéro aucun des multiplicateurs a, b, on est certain que cette valeur convient anx équations (1) proposées.

Quand le reste R" indépendant de x , a un facteur commun fonction de y avec un des multiplicateurs a, b, l’équation R' = o , peut donner des valeurs étrangères de y ; car par exemple, si R" et b ont un commun diviseur y — C, la solution x=a , y = 6 des équations (3). . . R'=o, R'=o, réduisant b à zéro, la relation Bê = o, déduite de Bé = R'Q" R", peut avoir lieu sans que B devienne nul. Dans ce cas, on reconnaîtra si x = et, y =z£, convient aux équations proposées en substituant ces valeurs dans A et B.

Exemple. Soient les deux équations

B = yx*-j-gx — ioy'=o.

Les polynômes A, B étant du même degré en x , il est indifférent de diviser A par B, ou B par A.

Si l’on opère de U première manière , on rendra la division possible en multipliant A par y, et l’on divisera A y par B, ce qui fournira le quotient entier yr — 1 et le reste

R' = ( — iy + 9) * + (5y" — 7.v)-

Ce reste étant moindre que R, on doit diviser B par R', et pour éviter les fractions, on multiplie B par (•—7)' + 9). ce qui conduit à diviser ( — 7,y-H9)B par R'; le premier terme du quotient est yx et le reste est,