CHAPITRE VII

Pour éviter les fractions, on multiplie ce reste par le coefficient -^7^+9 du premier terme du diviseur R', et on divise le produit par R'; ce qui donne le deuxième terme

(5/4-7>* — 63^ + 8i) du quotient, et le reste

R = 25y6 — 7qjd- — i26y3 -f- 4l4y* — 2^3y.*

Au lieu «le multiplier deux fois par — 7y + 9 » comme on yient de le faire, on peut multiplier B par (■*— ly-Hff)* et diviser le produit par R'.

Dans l’exemple actuel , l’équation R = o peut admettre des valeurs de y étrangères aux équations proposées; car il existe un commun diviseur y entre le reste R et le multiplicateur y dont on a fait usage pout* rendre la première division possible.

Pour découvrir si la valeur y=o, déduite* de R = o, convient aux équations A = o, B=:o, on fait yz=o dans A et B; les résultats — x* -f- 2 c -f- 3j +9*, n’ayant pas de commun diviseur fonction- idc a:, la valeur y = o est étrangère (n° 284)- On supprime cette valeur étrangère en divisant R par y — o, ou par y, ccqui conduit à

([)••• aSy* — 7qy3 — i26y-J- 4»4> — a43 = °-

Cette dernière équation donne y~ 1 et y;=3.

Pour obtenir ses deux autres racines, on divise son premier membre par le produit y*— hy-\-3 des facteurs y — 1 , y — 3, correspondans aux racines •+■* , -f- 3 ; -le quotient égalé à zéro, ' fournit les deux autres racines

+ ^10), y = ç(— i— j/Tô). •

L’équation ^1) ne renferme pas 4e valeurs étrangères de y’; car les quatre valeurs dey, déduites de cette équation, ne ré duisent à zéro aucun des multiplicateurs y, (— ljy -f* 9)a> dont on a fait usage pour rendre les divisions possibles (page 447)-

Pour obtenir les valeurs de x «mrrespondantes aux <]ualre

ALGEBRE.

bonne» valeurs dey , on pourrait faire successivement

ya^,.y^3,r=|(-«+^)» ^ = §(-i-V/io),

dans A et B; on chercherait cltaquc fois le plus grand commun diviseur entre les fonctions de x qui en résulteraient, et ces communs diviseurs égalés à zéro , donneraient les valeurs- demandée» :r ,

je— i , a = 2, x = — 5 — y/7ï,' x = — 5 + \/i<y.

Mais > on parvient plus simplement aux mêmes résultats en mettant successivement les valeurs dey dans l’équatiou R'=o, et en déduisant x de l’équation qui en résulte.

288. Lorsqu’une valeur S de y , tirée de R = 0, rend nul le reste précédent R,, cela indique, que plusieurs valeurs de x correspondent à. y =£• Pour obtenir çes valeurs de x, on fait y — Cdans les restes -précédons , jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste qui ne soit pas. nul ; ce dernier reste égalé à zéro fournit les valeurs de x eoriespondanles à y — C.

Quand la valeur y ^C^tirée de R=o , réduit à zéro-tous les restes ainsi que A et B, il existe un commun diviseur y — Z

entre A et B, et on satisfait aux équations proposées

^ A = o, B = 9 j en combinant la valeur y==C avec des

valeurs arbitraires de x.

Pour découvrir les autres solutions du système A=o , B= o , ou cherche le plus grand commun diviseur «1 entre les coefficiens 'des diverses puissances de x dans A, et le plus grand commun diviseur y entre les coefliciens des diverses puissances de x dans B. On divise A par l, et B par y, ce qui fournit des quotiens A', B' , on aA = M',B = »B'. On cherclie le plus grand commun diviseur Y entre * et y ; on divise * et y par Y, ce qui fournit des quotieûs exacts p, q j on a

i = PY, y = ?Y, A==pYA', B-qYÏÏ-,.

de sorte que les équations proposées reviennes à '

(2). . . pYA' = o, ?YB'=o. -