CHAPITRE VII. • 45i

Les valeurs de y tirées de T=so, satisfont aux équations (2) quel que soit x. . t .

Les autres solutions des équations proposées dépendent du système " '

(3)...pA' = o, ^r = o.

Les quantités p, q, étant des fonctions de y premières entre elles, une même valeur dey ne saurait les réduire simultanément à réro. 11 n’existe donc que trois manières de satisfaire au système (3), savoir: .

paszo, B' = o || q — o, A' = o }| A' = o, B'==o„

L’équation p — o fournit des bonnes valeurs de y , et eu les substituant dans B' = o , on obtient des équations en x qui déterminent les valeurs de x correspondantes.

De même-, q ~o donne des Valeurs de-y ; ces valeurs substituées dans A* = o , fournissent des équations en x qui déterminent les valeurscorrespondantes.de x.

Enfin, pour obtenir les solutions du système A' = o, B'=o, dans lequel A' et B' n’ont {dus de facteur fonction de la seule inconnuey , on opérera comme il a été indiqué (na 287). Cn parviendra à un reste r fonction de- y y et si r, désigne lp reste précédent , les solutions des équations r= :o, r, = o , conduiront à celles du système A* =*= Oj B' == q. ,

Mais, une Valeur 6 de y tirée de r=o, ne réduira jamais à réro- tous les restes, ainsi que- A' et B'; car si cela arrivait , A' et B' auraient encore un. commun diviseur ’y — C; ce qui est contre l’hypothèse.

*89.' Lorsque dans le cours des divisions successives, on aperçoit un facteur commun à tous les termes de l’un des restes, on peut simplifier as calculs. /, /. * .. , , :

Exmru. Soient les équations • -

3?-\-%yx'-\-?y(y — 2)x-j-y’ — 4=°> x'-f-ayx-f-ay’— 5j^-2=o ,

et désignons leurs premiers membres par A et B ; la division de A par B donne le quotrent x èt le reste R'=fy — 2)x-f-(y* — 4) *

Ce reste contient lé facteur y , car y’*-“4 lé produit

je y — 2 par On a donc ,

R' = Cy — a) X [x+J+ a)-

Les solutions des équations proposées étant les mêmes que celles des équations B=o, R' = o (n° 286,), il suffit de traiter les deux systèmes

B = o, y — as=o||B=o., x + y + J = o- Le premier donne les deux solutions

y ri 2j x = o || y = 2 , x= 4-

Pour trouver les solutions du second système, on divise B par x 4 y 4- 2 ; ce qui fournit le Quotient i + 'Jf — 2 et le rrste y*— 5y465 les équations

déterminent les deux autres solutions

L’équation fiuale en y est donc (n° 224)

(y — 2) (y — 2) (.y — ?Hj — 3) = °* ou

yt gy3 4- 3oy* — 44.X 4 24 = o. .

On parvient au même résultat en ne décomposant pas le reste H' en deux facteurs; car le procédé général du n° 287 conduit à diviser B (y — 2)* par R'; ce qui donne le reste

y* — gy® 4 3».y4 — 44.x + 24-

200. En général, lorsqu’on peut décomposer les premiers membres des équations proposées (1)... A = o, B = o, en facteurs algébriques entiers , la résolution de ces équations devient plus facile; car en égalant à zéro l’un quelconque des facteurs de A et l’un des facteurs de B, les solutions des deux équations qui en résultent appartiennent aux équations (1).

■ Exemple. Soient

A=*a + ayj:4y-i, »=*’— zif+Ox+Ly'+zy — 3)