CHAPITRE Vil

1°. Ou satisfait aux équations (l) eu égalant à zéro l’un quelconque des facteurs communs Y, X, D.

L’équation Y=o détermiucra un nombre limité de valeurs de y, avec chacune desquelles on pourra combiner des valeurs arbitraires de x. De sorte quey* sera déterminé, tandis que x sera indéterminé.

L’équation X = o, déterminera x; et y sera d’ailleurs arbitraire.

Enfin, l’équation D = o , contenant x et y , on pourra donner des valeurs quelconques à x ou à y , Péquation résultante ne contenant plus que l’autre inconnue, déterminera les valeurs correspondantes dé cette dernière inconnue.

Ainsi, chacune des équations Y = o,X=o,D=o, fournira une infinité de -solutions des équations (1) proposées, et l’on obtiendra ces solutions en résolvant des équations à une seule inconnue. . 4

Les autres manières de satisfaire aux équations proposées consistent à égaler à zéro, eh même temps, l’un des facteurs u, u! , A, de la première équation, et l’un des facteurs <•', y B, de la seconde. Ce qui fournit neuf systèmes.

Or, on ne peut pas avoir en même temps u — o et v =0; car ces facteurs ne contiennent que J", et n’ont plus de facteur commun ; donc aucuuc valeur de y ne peut les rendre nuis tous deux à la fois.

Par une raison semblable, on ne saurait avoir en niéiuc temps v = o.

Il ne reste donc que les sept systèmos possibles

u=o | u=o || M = o || zf = o |1 «r=;-o'|| s>*s=ro jj1 At=*o, v' = o | v- =xo II B=:o } B =o ||, A= o j| A = o [j B = o .

Dans le système. u—o, v'= o, chacune des valeurs dey tirée de l’équation à une seule inconnue iz=o, peut se combiner avec l’une quelconque des valeurs de x tirées de l’équation à une seule inconnue v'=>o. De sorte que si m et n désignent les degrés des équations a=o, v'=o, le nombre des solutions fournies par ce systëtné sera rà X »■ 1

Par une raison semblable, le système u — o, v — o, fournira un nombre de solutions marqué par le produit des degrés des équations à une seule inconnue m' = o, v = o.

Dans le système « = o, B=o, la première équation ne contenant que y donnera un nombre limité de valeurs de cétte inconnue, et chacune de ces valeurs substituée dans B = o, fournira une équation en x d’où l’on tirera les valeurs correspondantes de x.

On voit semblablement que chacun des trois systèmes

B- = o |j A = o II.A =o,

fournit' un nombre limité de valeurs de xf y, et que l’on obtient tes valèurs en résolvant des équations à une seule inconnue. • ‘ •

Enfin , dans le dernier système, A = o , B = o , chacune des quantités A , B, contenant les deux inconnues x, y, lè procédé du n“ 287 fournira le moyen de ramener la question a traiter deux équations dans l’une desquelles il n’entrera qn’nne seule des inconnues; ces deux nouvelles équations fourniront toutes les solutions du système iso, B==o , et elles pourront donner en outre des valeurs étrangères}- le procédé du n° 283 fournira le moyen de distinguer les bonnes valeurs de x et y.

Les polynômes A, B, n’ayânt aucun facteur commun, Je système A=o, B = o , ne peut admettre qu’un nombre limité de solutions, et une valeur dexou dey' ne saurait à elle seule réduire simultanément A et B à zéro.