CHAPITRE VII
équations (4) conduit à une équation (5).. . p(y)z=:o, qui détermine toutes les valeurs de y. Soit S une de ces valeurs; on fait y — G dans F(r,.y) et /(c, y) , on cherche le plus grand commun diviseur X, des résultats F(r, C), f(x, £); l’équation X = of fournit les valeurs de x correspondantes ay=G', si «désigné line racine de X=o, l’une des solutions des équations (4) est js=«, y — G. La substitution deées valeurs 4® te et y, dans P, Q, R, fournit trois fonctions de z; on cherche leur plus grand commun diviseur Z; l’équation Z=o détermine les valeurs de z correspondantes h x — », y —G.
Exemple. Soient les trois équations
(3)... z*-f-xy — xs — 7 = 0.
L’élimination de z entre (1), (2), et entre (1), (3), donne
(4)— (7— -6)x— *6y-f-i6=o, 3 (y — 4)JH y" — 12^4-29=0.
Eliminant X éntre ces deux dernières équations, il vient
(5)... y— igy 4- 18=0.
Une des racines de l’équation (5) est y= 1 ; pour obtenir les valeur» correspondantes de x et de z , on fait y= 1 dans les équations (4)i elles donnent x=-f- 2 j supposant^= 1, x=2, dans (1)» (2), (3),' il vient '
z — 3 = o, z* — 9^=0, zJ — 9 = 0; d’où z = 3,
de sorte que^y=t, x=2, z = 3, es(t une solution des équations proposées.
Divisant y s— 19^-f- 18 par y — 1 ,• le quotient égalé à zéro detef ntinera les deux autres valeurs, dfe yt les équations (4) fourniront les valeurs correspondantes 4e x, et ensuite les équations (1), (2J, (3), donneront les valeurs de z.
?g3. Eli général : La résolution de n équations d’un degré quelconque entre fi inconnues j tonduit à des équations dans chacune desquelles il n’entre qu’une seule inconnue.
Quand oh à n équations entre n -j- ni inconnues j on peut assigner des valeurs arbitraires à m inconnues , car il reste n
••quations qui serventâ déterminer les n autres inconnues. On peut aussi déduire des n équations données t une relation entre m-f- 1 quelconques des n-^-m inconnues , car il suffit d éliminer les n— i autres inconnues.
Enfin, lorsqu'on a n-\-m équations entre, n inconnues j l’élimination des n inconnues fournit m équations de condition; la possibilité de satisfaire au système proposé , dépend de ces équations de condition.
§ VII. Équation aux différences. Calcul dîme quantité moindre que la plus petite des différences entre 1er racines prises deux à deux dune équation donnée. •
294. Nous allons' calculer l’équation aux différences . . . . (2).. - <t> (y) — o, qui a pour racines toutes les différences ehtre les racines a, bj d’une équation du m
degré (1). . . f{x) — o.
Soient z et z' des racines quelconques de l’cquation (1); chacune des quantités z, z , aura m valeurs a, b, c,...,k , et 011 exprimera que z, il, sont racines de 1 équation. ( 0 en
posant '• - , :« .
/(z) = o, f{z')=o. jSoit z —z~y. ••
Le système de ces trois dernières équations déterminera toutes les valeurs de y correspondantes aux m valeurs* .... x a, b, Cf..., k, de cliaéune des inconnues z, *';•«» valeurs
de y exprimeront dont) toutes les différences entre les m racines de l’cquation (i) ; et par conséquent, on obtiendra. l'équation en y qui détermine ces différences , eft éliminant z et z entre les équations < , ,
Tour éliminer z, on remplace cette inconnue 'par sa valeur z+ y tirte de z' — z=yy l’éiquatten f(i' ) = o devient f{z-j-y) ==,0, et d’après ce qn’on a vu (n® 250 » ■s'1 Von veloppe f (z-\-y) suivant les puissances croissantes de y, lé—
