CHAPITRE VIT

tfia

1er Exemple. Soit l’équation x3 — 7X 4- 7 = *>• On a /(x) = x1 — 7x 4- 7 „/' (x) = 3r* — 7,/'" (x) =6x,/*(x) =6.

Toutes les autres délurées de /(x) étant nulles, l’e’quation générale

J'/'W + ^3^a/"W + etc.= o, ,

sç réduit à

(3x‘ — 7) + 3xj'+j',=o, ou à 3x’4-3yx-f-y — 7=0. De sorte qu’il s’agit d’éliminer x entre

x3 — 7x4- 7 = 0 ‘et 3x* 3yx + .y* — 7 = 0.

Le résultat de cette élimination est l’ équation aux différence»

2e Exemple. Soit l’équation x1 — 21 — 5 = o.

On trouve que l’équatioh aux différences est

295. Les équations (1). . . f(x) = o , (2) ... <p (y) = o , jouissent des propriétés suivantes :

1°. IJ équation (1) étant tfu mf imt degré , l’équation (2) aux différences est du m {m — l}M“* degré; car chacune des m racines de l’équatioq (1) donnant m — 1 différences entre celte racine <?t les m — 1 .autres, ces m racines déterminent m(m— 1) différences qui sont les racines de l’équation (2).

20. L,’ équation aux différences ne contient que des puissances paires de L'inconnue ; car toutes ses racines sont égales deux à deux et de signes contraires (n° 23 1).

Posant donc m{m — 1 ) = 2ra , l’équation aux différences sera de la forme 1 ’ *

y - 4- py— 4- Qy— 44- . ...... 4- Sy* 4* T = o >

ce qui revient à

(3) . . . Çy*)* 4- P (yY~' + Q (y * 4- • • • + Sy 4- T = o.

3®. Soit y’ — z y l’équation (3) devient

(45'. •. ! a" + Pi— + Q a— + . . . + Ss + T = o.

Cette dernière est Y équation aux q narrés des différences, parce que ses racines sont les quarrésdes différences eutre les racines de l’équation (î) prises deux à deux. -

4°. Quand l’équation (i) n’a que des racines réelles , l’équation (4) na que des variations de signes ; car les quarrés des différences entre ces racines étant réels et positifs, toutes les racines de l’équation (4) sont réelles et positives.

5°. Nous démontrerons dans 1 er neuvième chapitre que la réciproque est vraie, c’est-à-dire que lorsque V équation (4) n’a que des variations, l’équation (l) a toutes ses racines réelles.

6°. Il résulte de (4°) que toutes les fois que l’équation (4) a des permanences , l’équation (l) a nécessairement des racines imaginaires. j

Exemple. Soit l’équation ar1 — 2x — 5 = o.

L’équation aux différences est

Cette dernière équation ayant une permanence, l’équation eu x a des racines imaginaires ^6B) , et n’a par conséquent qu’une seule racine réelle , car les nacines imaginaires sont toujours en nombre pair (n° 265 , page 4'2)-

70. Si les racines de l’équation (l ) ne font que changer de signes, l’équation (2) aux différences rf siéra la même ; car les différences entre deux racines quelconques a , b, de l’équation (1) étant a — b et b — a, les différences entre a et — b sont les mêmes.

296. 11 est maintenant facile de calculer la quantité t~ moindre que lapsus petite des différences entre les racines d’une équation donnée =. o, dont toutes les ratines sont inégales. A cet effet, on cherche l’équation aux différences, Ç (y) = o, des racines de la proposée, et l’une quelconque des limites inférieures des racines positives deip (y) = o, exprime l.