CHAPITRE VII

Exemple. Soi t x3 — çx -J-; 7 = o ;

on -vient de vpir {page , 461) que l’équation aux .différences est

y — 4*y' + 44 lyx — < 49

La limite inférieure des racines positives de cette dernière équation étant ^ (2e Exemple , page 377), onaJ =

Remarque. Nous avons supposé que 1 '-élimination conduisait à l’équation aux différences (2). . . p (y) = o; mais on -a vu (n° 287) que cette élimination donne quelquefois une équation $>(j/) X F (y) — o compliquée. de valeurs étrangères de y\ cependant on péril prendre pour Pline quelconque des ' limites inférieures des racines positives de l’équation <f (y) X F — o car cette limite est à plus forte raison moindre que la plus petite racine positive de l’équation (2) . . .<p {ÿ) ~ o.

§ VIII. Équations binômes et trinômes ; équations irrationnelles.

297, Les équations qui peuvent se ramener à la forme y” dtz b = o , ont reçu le fiom A’ équations binômes.

fes équations binômes n’ont pas de racines égales ; car le binomey,n‘ ± b n’a pas de diviseur Commun avec sa dérivée

Pour simplifier la résolution des équations binômes, on clierclie

d’abord la valeur arithmétique a de y b ; on fait y = eue-, substituant cette valeur dey dans ym±b = o, remplaçant A par et divisant ensuite par alh, la question se trouve réduite à résoudre l’équation x“‘ :t 1 = o.' .

i°. Soit l’équation (1). . . x” — 1 = 01;

une de ses racines est -f- 1.

La division de — 1 par x — 1 donnant le quotient exact

x*!-1 -Jr -H -f- -Ça + X + !,.( page 33), on* a l’identité

et les autres racines de l’équation (1) dépendent de l’équation

Lorsque m est un nombre impair, l’équation (3) n’a pas de racine réelle; car des valeurs positives de x ne sauraient y satisfaire , et une valeur négative de x ne réduisant jamais x*1 — t à zéro, cette valeur ne peut satisfaire à l’équation (3).

Quand m est un nombre pair 2 n, l’équation x“ — i = o a deux racines réelles -f- i , — i .

Pour trouver les autres racines, on divise x“ — i par le produit jt* — i des facteurs * — i , x ■+• 1 ; le quotient égalés zéro conduit à

Cette équation n’a pas de racine réelle ; car tous les expOsans de x étapt des nombres pairs , une valeur réélle de x ne saurait y satisfaire.

Pour résoudre l'équation (4) , on y fait x* ?= z j elle sè réduit à

*»-* + *»-» + ... + z + i = o; cètte dernière détermine n — ■ i valeurs de z , et la relation x = dzÿz donne les an — 2 racines de l’équation (4).

Le binôme x** — I étant le produit de x" -f- i par x1* — i , les racines de l'équation x’" — i = q., peuvent aussi se déduire des équations plus simples x* •+• i = o , x" — i = o.

2°. Soit l’équation (2) . . . x" -f- 1 o.

Lorsque m est un nombre impair .2«'-f- 1 , l’hypothèse x=— 1 satisfait à l’équation (2). Pour obtenir les autres racines, on divise x*"4"' -f- 1 par x -H 1 ; le quotient ( page 34) égalé à séro donne . '

(5) . . . x** — 4- x“-* — fcam~3 -f- . .• , -f x* — x + 1 = o,

et on a l’identité

®,M-,+-TO(x+ 0 (x“-x“- + ...+ x‘— x,+ 1).

Toutes les racines de l’équation (5) sont Imaginai res; car elle i»’a pas de racines réelles négatives (page 368, 2* Rbmabqus), et chacune de ses racines devant réduire x*"*1 ■+■ 1 à zéro, l’équation (5)( n’admet pas de valeurs positives de x.

Quand m est un nombre pair , l’équation (2) . . . x" -j- 1 = o ,