CHAPITRE VIE

Les racines de x3 — 1=0, étant -f- 1 , « et £ , on a *3 = 1 , et le principe du n“ 225 donne 1 X«Xî=i ; donc

a3 = I X * X £ , d’où = Ç . '

Toutes les puissances des racines cubiques imaginaires «, «*, üfe V unité j reproduisent les racines l,a, car la relation a3 — 1 donne

a?n =. I , «■'«+1 = a3* X « = a , a3n+* = et3" X «* = a. *.

2e Exemple. "Déterminer les six valeurs de[/+i.

On pose x6 — 1 = 0.

Nous ayons tu (page 465) que les valeurs de x sont données par les équations .x3 — 1 = o , x’3 -J- j =0.

Les trois racines de x3 — 1 =0, étant — 1 , « et <*% celles de x3 + 1 = o , qui n’en different que par le signe , sont — 1 , — « et — •*.

Les six valeurs de V'+i sont, donc ±1, ±«,

299. Le procédé du n° 1 3g conduirait aux m valeurs de la racine mlim‘ d’un polynôme P ,• car la racine 1 nUm‘ du premier terme de P ayant m valeurs-, chacune d’elles exprime le premier terme d’une des m racines du polynôme proposé, et la division fournit les autres termes de chaque racine. Mais, on parvient plus simplement aux mêmes résultats en multipliant la

valeur arithmétique de l/P par chacune des m valeurs de \/î .

300. Les règles qui ont 'été données pour opérer sur lès valeurs arithmétiques des radicaux , ne sont pas toujours applicables aux valeurs algébriques de ces radicaux.

Par exemple , la valeur arithmétique de l/ a est la même

mn

que celle de V a" , (page 225,5°); mais les valeurs algébriques de ces radicaux sont différentes, car le premier radical a m valeurs inégales , tandis que le second enamX».

Pour lever toutes les difficultés relatives au calcul des radicaux algébriques j il suffit d’opérer successivement sur chacune des valeurs de ces radicaux.

Exemple. Calculer le produit de \/ Q par 72g.

Les valeurs arithmétiques de ces radicaux étant + 2 et +3,

on a [/8 X 1/729 = 2 [/ 1 x3 \/ 1 =&}/ 1 x l/ï.

La question est doue réduite à former le produit de \/ i

par y/ 1 ) multipliant successivement chacune des valeurs s

-j- 1 , * , e? , de y/ 1 , par chacune des valeurs dr i ,

de y/ 1 , et ayant égard aux relations «e5 = i ,«* = «, on verra

que le produit de y/ 1 Par V' 1 » n’a que les six valeurs difie—

rentes ±:i l’expression générale du produit de y/ 1

par \/ 1 est donc y/ 1.

La règle qui a été donnée (page 225, 5°) conduirait directement au même résultat , en réduisant d’abord les radicaux au plus petit indice commun.

Équations trinômes réductibles au second degré.

3oi. La résolution des équations binômes donne le moyen de calculer les rqeines des équations trinômes de la forme

(l). . . x‘m -J- 2pxm -f- q =c o ;

car en faisant xm = y, l’équation (i) devient

y' -+■ *py + q = « ; d’où y=—p± y/p'—q.

Désignant ces deux valeurs de jr par a et b, la question est réduite à résoudre les équations binômes xm — a, rm — /.

Remarque. L’équation (i) n’admet jamais plus de quatre racines réelles ; car lorsque a et b spnt réels, chaque équation binôme ne peut donner plus de deux valeurs réelles de x