CHAPITRE VII

(n° 297)'» et si a ou b est imaginaire, b par exemple, aucune valeur réelle de x ne saurait satisfaire à xm — b, puisque la miimt puissance d’une quantité réelle ne peut être égale à une imaginaire b.

Résolution des Équations irrationnelles.

3o2. Nous allons actuellement nous occuper des équations irrationnelles j c’est-à-dire des équations dans lesquelles les inconnues entrent sous des radicaux.

Pour résoudre ces équations, on égale chaque radical à une nouvelle inconnue ; on fait ensuite disparaître les radicaux ; ce qui fournit des équations rationnelles entre les inconnues primitives et les nouvelles inconnues; l’élimination dfe ces nouvelles inconnues conduit à des équations rationnelles entre les inconnues primitives, et nous avons vu comment on résout ces dernières équations.

i,r Exemple. Soit (1). . . \/ x -f-V^ x — 5 = 5.

On fait ÿx = y et ÿ' x — 5 = z; d’où

Pour obtenir X équation finale eni, il suffit d’éliminer y et z entre les équations (2); à cdt effet, on remplace d’abord^ par sa valeur 5 — z tirée de y-f-z=5, l’équation y* = * devient z1 — 1 oz + 25 — x = o ; or , z“ + 5 — x — o ; l’élimination de z entre ces deux dernières conduit à x=:9; cette valeur de x satisfait à l’équation (1).

Remarque. Le seul moyen de rendre l’équation (1) rationnelle, est de faire disparaître les radicaux en les élevant au quarré; ce qui fait disparaître le double signe dont la valeur de chaque radical doit être affectée; chacune des équations

conduirait donc à la même valeur x = 9; et cependant en-ncv

ALGEBRE.

prenant que la valeur arithmétique Je chaque radical, la valeur x=g ne satisfait à aucune des équations (3).

En général , lorsqu’on fait disparaître les radicaux contenus dans des équations j les valeurs des inconnues tirées des équations rationnelles qui en résultent j peuvent ne convenir quà certaines combinaisons des diverses valeurs dont ces radicaux sont susceptibles.

Ainsi, l’équation [/ x — {/ x — 5=5, n’admet pas de solutions arithmétiques ; mais en prenant la valeur négative de \/ x — 5, l’hypothèse r = g fournit une solution algébrique de cette équation.

a* Exemple. Soit (i). . . |/2 — x= i — \/x — i;

ou fait V^2 — x—y> Vx — d’où

Pour éliminer y , on remplace y par sa valeur î — z, et les équations (3) , (4) , deviennent

Éliminant z entre ces deux dernières, on trouve (x — OC*’ — 3 2X + J.o) = o; d’où x=l, x = 2, x= 10.

§ IX. Des équations réciproques.

3o3. Lorsque cl désignant une racine quelconque d’une équation, - est aussi racine, on dit que cette équation est réci-

proque.

Nous allons chercher les relations qui doivent exister entre les coejp.de ns d’une équation pour qu’elle soit réciproque.

Afin de fixer les idées, considérons d’abord l’équation de degré impair (î). . . x5 + jdx* -j- qx3 •+- rx * + sx •+• t = o.

Pour qu’elle soit 'réciproque, il faut et il suffit qu’en chan- | ,1 géant x en - , la nouvelle équation

-Oigilizeé-