CHAPITRE VII

admette les mêmes racines que la proposée.

Multipliant par x5, divisant par i, et ordonnant suivant les puissances décroissantes de x, on obtient la transformée

Les équations (i), (2) , devant avoir les mêmes racines, les coefficiens des puissances semblables de x doivent être égaux dans les premiers membres de ces équations ( n° 226, 6*). Les relations demandées sont donc

La dernière donne f’ = 1, d’où < = +r et t— — ».

Substituant ces valeurs de t dans (3), on voit

que e = -f-i donne s—p, r — q ,

et que t =' — 1 donne s = — p, r — — q .

Ce qui conduit aux équations réciproques

(4) ... x5 -f- px' -J- qx' + qx% -f- px -f- 1 = 0,

(5) . . . x5 -f- px* + qx 3 — qx* — px — 1 = 0.

Par conséquent : Pour qu’une équation de degré impair soit hÉciproque, il faut et il suffit que les coefficiens des termes également distans des extrêmes soient égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires.

3o4- Toute équation réciproque de degré impair a une racine égale à — t ou à -f- 1 , selon que les coefficiens des termes également distans des extrêmes sont égaux et de même signe , ou égaux et de signes contraires ; et en divisant le premier membre par le' facteur correspondant x -f- 1 , ou x — ij on obtient une équation réciproque de degré pair dans laquelle les coefficiens des termes également éloignés des extiémes sont égaux et de même signe. En effet :

i°. L’hypothèse x — — i satisfait à l’équation (4); son premier membre est donc divisible par x -f- i (u° 221).

Pour faciliter cette division , on observe que l’équation (4) peut se mettre sous la forme

(is + i)-ffr(i3+i) + yx* (x + i)=o.

On a vu ( n° 29 ) que les binômes x5 -f- 1 , x-1 -j- 1 , sont divisibles par x-f- 1 , et fournissent les quotiens x * — x3-f-xa — x-f- 1 , x* — x-f- 1. Divisant donc le premier membre de la dernière équation par x -+- 1 , ce qui ôte la racine — 1 , et ordonnant le quotient , on parvient à l’équation réciproque

Remarque. On pouvait prévoir que l’équation (4) aurait une racine égale à — 1 , et que son premier membre divisé par x -+- 1 conduirait à une équation réciproque. En effet, les cinq racines

de cette équation sont nécessairement delà forme a, b, ct

et leur produit °X^Xix|xC| ouc, est égal au dernier

terme -f-i de l’équation (4) pris avec un signe contraire (n6 225); donc c= — 1. D’ailleurs, si l’on égale à zéro le quotient du i,r membre de l’équation (4) par x -J- 1 , l’équation qui en résultera sera réciproque , puisque ses racines sont a, b et

20. L’hypothèse x = 1 satisfait à l’équation (5); son premier membre est donc divisible par x — 1.

Pour faciliter la division , on met l’équation (5) sous la forme

(x5 — 1) -f- px (x3 — 1) -f- qx‘ (x — 1) = o.

Les quotiens des binômes x5 — 1 , x3 — 1 , par x — 1, étant x* + x3 -f— xa -J- x -J- 1 et i' + x+i (n* 29) ,

la dernière équation divisée par x — 1 conduit à l’équation réciproque

^+(?+')x,1 + (i -fp + q)x4-f-(/>-fi)x+ 1 =0» I^e principe est donc démontré.

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