CHAPITRE VII

3o5. Occupons - nous actuellement des équations de degré pair, et considérons l’équation

( i ) . . . x8 + pxs -f- qr4 -f- rx3 + sx* -f- (x -+• u = o.

Pour qu’elle soit réciproque , il faut et il suffit que si l’on y change x en - , l’équation transformée

admette les mêmes racines que la proposée.

Multipliant par x6, divisant par », et ordonnant suivant les puissances décroissantes de x , on trouve

(2) . . . x6 - x5 -j- - x4 -f- - x3 -f- -xa+-x-f--=o. u u u u u u

Les équations (1) et (2) devant avoir les mêmes racines, les coefficiens des puissances semblables de x doivent être égaux \ les relations demandées sont donc

La dernière donne »' = 1 , d’où » = ±: 1 .

Discutons ces deux valeurs de ».

Soit »=-f- 1; les relations (3) s’accordent à donner t=p, s~q, r= r; et l’équation (1) devient

(4) . . . x6 px? -f- qx4 + rx3 +. qx? +px -f- 1 =0.

Cette dernière équation est réciproque, quelles que soient les valeurs qu’on assigne aux coefficiens p, q, r.

Soit »= — 1. La relation - = r devient r = — r, d’où

2r = o , r — o\ et les autres relations s’accordent à donner t=, — p, s — — q; l’équation (1) devient

(5) . . . x6 -|- px 5 + qx4 — qxa — px — 1=0.

D’un autre côté, l’équation (4) étant réciproque, quel que soit r, ott peut y faire r=o, ce qui fournit l’équation réciproque (6) ... x6 -f- px 5 -h qx4 + qx2 -+■ px •+• 1 sa o.

Par conséquent : Pour qu une équation de degré pair soit réciproque, il faut et il suffit, si elle renferme le terme du milieu , que les coefficient des termes également distans des extrêmes soient égaux et de même signe ; et si elle ne renferme pas le terme du milieu, il faut que les coefficiens des termes également éloignés des extrêmes soient égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires.

3o6. Toute équation réciproque de degré pair, manquant du terme du milieu , et dans laquelle les coefficiens des termes également distans des extrêmes sont égaux et de signes contraires , a une racine égale à -f-i et une racine égale à — I ; son premier membre divisé par le produit x* — l des facteurs x — i, 3c — f- 1, correspondons aux racines + l, — i, conduit à une équation réciproque de degré pair qui est complète , et dans laquelle les coefficiens des termes également distans des extrêmes sont égaux et de même signe.

En effet, soit l’équation de cette espèce

(l). . . x* pxb qxi — qx 4 — px — i=o.

Il est d’abord facile de -soir qu’elle est satisfaite par chacune des hypothèses x = -f- î , x = — i, car les résultats

* -hp + q — q—p— i, « — P +q — 9+p — i,

sont identiquement nuis.

Pour faciliter la division du premier membre par x* — i , on met l’équation proposée sous la forme

(2). . . (x6 — 1) 4-pr: (x* — 1) -4- qx* (x* — i) = o.

Chacun des binômes x6 — 1, x4 — 1, est divisible exactement par x* — 1 ; car en faisant x4 = z, ils deviennent zs — 1 , z4 — 1 , et l’on a vu (n° 29) que ces deux derniers binômes divisés par z — 1, donnent les quotiens exacts a* -pz -4- 1 , z -f- 1 ; remplaçant z par X4, on voit que les quotiens des binômes x6 — 1 , x4 — 1 , par x4 — t , sont x* + x4 -f- 1 et x* -f- î.

Par conséquent, la division du premier membre de l’équation (2) par x* — - 1 conduit à