CHAPITRE VII

(x* ■+■ i) -}-/jx (x“ -f i) -f- <jx% = o, ouà (3). .. x^-f/^ + Cq-f-x}. **+/>* + i =?=o.

Ce qui démontre les propriétés énoncées.

Rïmauque. On pouvait prévoir que le quotient du premier membre de l’équation proposée par xa — i conduirait à une équation réciproque. En effet, deux racines de l’équation (i) étant -f- 1 et — i , les quatre autres sont nécessairement de la

forme a, b, or en divisant l’équation (i) par le produit x* — i des facteurs x — i , x -f- i , correspondans aux racines + i , — i , l’équation résultante aura pour racines a, —, b, elle sera donc réciproque.

307. Il est facile de conclure des propriétés que nous venons d’établir ,que la résolution cfune équation réciproque quelconque se réduit toujours à déterminer les racines d’une équation réciproque de degré pair j dans laquelle les coejjficiens des termes également distans des extrêmes sont égaux et de même signe. En effet :

i°. Si l’équation proposée est d’un degré impair 2« -j- i , on pourra diviser son .premier membre par r+i ou par x — 1 , selon que le dernier terme sera +1 ou — f, et le quotient égalé à zéro donnera une équation réciproque du degré pair' in, dans laquelle les coefficiens des termes également distans des extrêmes seront égaux et de même signe, (n° 3o4).

2°. Si l’équation réciproque proposée étant d’un degré pair 2», les coefficiens des termes également éloignés des extrêmes ne sont pas égaux et de même signe, il faudra nécessairement que ces coefficiens soient égaux et de signes contraires, et que le terme du milieu ( affecté de x" ) n’entre pas dans l’équation ( n° 3o5). Dans ce cas, l’équation admettra les racines + > , — 1 , et son premier membre sera divisible exactement par x* — 1 ; le quotient égalé à zéro fournira une équation réciproque du degré pair 2/1 — 2, qui déterminera les 2 n — 2 autres racines de l’équation proposée , et dans laquelle les coçfüciens

47e ALGÈBRE.

•les termes également distans des extrêmes seront égaux et de même signe (n° 3o6).

Le principe énoncé est donc démontré.

3o8. La recherche des racines d’une équation réciproque quelconque, se trouvant ainsi réduite à la résolution d’une équation réciproque d’un degré pair •in dans laquelle les coefficiens des termes également distans des extrêmes sont égaux et de même signe , nous allons faire voir qu’il est toujours possible de faire dépendre la résolution de cette dernière équation de celle d’une équation du n“Mt degré.

Pour fixer les idées, considérons l’équation

(O • • • + pr5 -b qxS -f- rx3 -f- qx * + px + > = o.

Cette équation étant réciproque, ses racines sont de la forme

Or, pour ces six valeurs de x , la fonction x-f--^ n’a que les

trois valeurs, a -f- - , 6 + t, c -f- -,

abc

Posant donc (a). . . x 4- - = z,

l’inconnue z n’aura que trois valeurs. Par conséquent, si l’on élimine x entre (i) et (2), l’équation finale en z séra du troisième degré; elle fournira les trois valeurs de z; et en les substituant successivement dans (2), on obtiendra trois équations du second degré en x qui fourniront les six racines de l’équation (1).

Pour chaque valeur de z, l’équation (2) détermine deux racines réciproques de l’équation (1); car l’équation (2) revient à

(3). . . x‘ — zx -j- 1 = o,

et le dernier terme -+- 1 de l’équation (3) exprimant le produit des deux racines de cette équation , si l’une de ces racines est a,

l’autre sera