CHAPITRE VII

Pour simplifier les. calculs relatifs à V élimination de x entre (i) et (2) j on observe que x=o ne satisfaisant pas à l’équation (1)’ on ne change pas les racines de cette équation en divisant son premier membre par x3, ce qui conduit à

(5) . . . (r+j) +P (xl+j0 + ?(X'l"î) + r~°'

Il ne s’agit plus que d’exprimer les binômes qui entrent dans cette dernière équation , en fonction de 2. On peut y parvenir en formant successivement le quarré et le cube de la valeur

x 4- - de a : car on trouve

s* = x14-^, + 2, d’où xa + = s” — 2 ; •

^ = (*3+^)+3(*+^)=(^+p)+**ï d’où x3 + -. = a3 — 3a.

Substituant ces valeurs des binômes qui entrent dans (5), on trouve que l’équation finale en z est

(6)... a3 + pz' + (q — 3)s+ (r— 2/?) = o.

En général, lorsque l’équation proposée est du degré 2 m, en la divisant par xm, on la ramène à la forme

CO- (*”+^) +p(x"-+^,)+...+ ^+i)+fco.

Pour résoudre cette dernière, on pose (2 ). . . x + ~=z ;

la fonction z n’ayant que m valeurs, dépend d’une équation du degré, que l’on obtient en éliminant x entre (1) et (2). Cette élimination se réduit à exprimer les binômes qui entrent dans (1), en fonction de z. On y parviendrait en formant les

puissances entières successives de l’expression x+- de 2; mais

on peut les obtenir par une formule très simple- En effet, la mul-

ALGEBRE.

tiplication de x" 4- ^ par x-J-^, conduit à l’identité

Remplaçant x-j- - par z, on en déduit

Cette dernière formule jouit de la propriété demandée ; car en donnant successivement à n les valeurs 1, 2, 3, etc., et remplaçant les binômes qui entrent dans le second membre, par leurs valeurs en fonction de a, on trouve

x*+4 i=a1-—a, xs4--^==z3 — 3z, etc.

x ar

i*r Exemple. Soit l’équation réciproque (1) . . . x7 — 5x6 -f 8x5 — ^ — 4X3 -f- 8x* — 5x+ 1 = o. Une de ses racines est — 1.

Pour former l’équation qui détermine les autres racines, on divise le premier membre par x4~ 1; et en opérant comme il a été indiqué ( page 472 )i on parvient à l’équation réciproque

(2}. . . x6 — 61? + i^xi-‘ i8x34- iix“ — 6x-|- 1 = 0.

Pour résoudre cette dernière , on pose x 4- - = z , et afin

d’éliminer plus facilement x, on divise tous les termes de (2) par x3, ce qui conduit à ‘

Mais, 1 + ' = 2, X* 4- J; = za — 2, x34-pi=z3 — 3z.

Substituant ces valeur^ dans (3) , on parvient à

z3 — 6z* 4- 1 1* — 6=0; d’où z=i, z = 2, zr=3.