CHAPITRE Vil

Or, x = a donne (4). • • x = ^ (2 — V — 4)-

Si l’on met les -valeurs de a dans la formule (4) , les valeurs correspondantes de x seront

De sorte que les sept racines de l’équation (i) sont

2* Exemple. Soit l’équation réciproque ,

Cette équation étant privée du terme du milieu, deux de ses racines sont -f- i et — i. Pour obtenir l'équation qui détermine les quatre autres racines, on divise le premier membre par le produit x* — i des facteurs x — i , x -J- 1 , correspondans aux racines -f- i , — 1 ; et en opérant comme il a été indiqué (n° 3o6), on trouve que l’équation demandée est

Pour la résoudre , on pose x + = a ; et afin d’éliminer plus

facilement a, on divise tous les termes par x4, ce qui conduit à

Or x -4- - = a donne x2 -f- ^- = aa — a; x x3

l’équation finale en a est donc

(a* — 2) + 42 + 5 = o ; d’où x= — 1 et a = — 3.

Substituant ces valeurs de a dans (4) , on trouve

48o ALGÈBRE.

Remarque. Les équations binômes xm — i = o, xm-f- i =o, étant réciproques , on peut les résoudre par les méthodes que nous venons d’exposer.

Par exemple , pour résoudre l’équation x* + 1 = o , on divise d’abord ses ternies par x’, ce qui donne

x’ = o. On pose x ^ =. i ; d’où

(4)... x=^(a± v/*‘ — 4) et x‘-hp=z'— 2.

L’équation ** — 2=0, donne zz=±\/ 2.

Substituant ces valeurs de z dans (4), on trouve que les racines de x* 1=0, sont

^ (1 ± ^ — i)\/2 et — I ± V' — 1)1/2.

Les racines de x1 — 1=0 sont ± 1 , ±; l/ — 1 , (.page 465). On verra de même que les racines de x5 — 1=0 sont + 1 ,

Ces racines prises avec des signes contraires expriment les racines de x5+ 1 = 0; car x^-j- I =0 se déduit de x5 — 1 =0, en changeant x en — x.

Les racines de x8 — i = o sont déterminées par les équations x4 — 1 = o , x4 -f- 1 = o j car x8 — 1 = (x4 — 1) (x4-!- 1). Enfin les racines de x'° — 1=0, dépendent des équations

x5 — i = o, x5-}- 1 =0, car x10 — i = (x4 — 1) (x5 + 0-