CHAPITRE y III

PROBLÈMES

§ Ier. Questions relatives aux intérêts composés.

309. i*r Problème. Déterminer combien le capital a francs vaudra dans t années j en ayant égard aux intérêts composés d’année en année. JJ intérêt de ioo francs par an est y francs.

Nous supposerons qu’on a pris les intérêts composés comme il a été indiqué ( Arith.j n° 111, page 12.5); c’est-à-dire que si le temps t années est composé d’un nombre entier n d’années , et de m mois {m pouvant être entier ou fractionnaire, mais moindre que 12) , on a eu égard aux intérêts des intérêts d’année en année pendant les n premières années ; et qu’on a placé ensuite le nouveau capital à intérêt simple pendant m mois. Cela posé : r y

L’intérêt de 1 par an étant francs,

if comptant vaut dans un an

(1 + francs, ou Z100 ~t~y\ francs ou y\

\ iooy \ 100 / 100 )

Par conséquent , pour trouver combien une somme placée au commencement d’une année, vaut à la fin de cette année, il

suffit de la multiplier par — v-,

* ‘ inn

Il en résulte que le capital a francs vaudra,

Mbm

<* X — J— — francs à la fin de là i.r" année,

/ 1 00 -f- yV

( ) francs à la fin de la V année, . ,

— — J, francs a la fin oc Ja nlim* annéo.*

, et

iiîV

Il s’agit maintenant de trouver ce que cette dernière somme vaudra , lorsqu’on l’aura augmentée de ses intérêts simples pendant m mois- Or,

l’intérêt de if en i mois est le la* de — francs, ou — ;

i oo ' i 200 .

l'intérêt de if en m mois est donc francs.

i* payable à la fin de la niim‘ année vaut donc tn mois après,

my 1 200 + my , i -1 ou francs.

(i oo -f V\- ,

— — J à la fin de la

nlim ' année, vaudra donc dans n années m mois,

/loo + yy \ ioo )

. 1200 + tny

fois — ■ francs.

iaoo

Désignant donc par C francs la valeur cherchée du capital et francs après n années m mois, on aura

(.)...c=.(’i5î±ryx Y

\ IOO / V 1200 /

Ce qui déterminera l’inconnue £.

La formule (i) donne le moyen de calculer Fane quelconque des quantités <, C tj y , quand les trois autres sont connues. On en déduit la solution des problèmes d’intérêt composé que nous avons traités daris l’Arithmétique.

Quand le temps t années est donné, on connaît n et m.

Lorsque ce temps est inconnu , on trouve b et m par une méthode analogue à celle qui a été exposée daus l’Arithmétique (3l ’ prob.j pages 127 et 128).

Lorsque et, C, m et n étaDt donnés , on veut trouver le taux y de l’argent, l’inconnue y dépend de l’équation (1) qui est du n — |— iH“* degré. Cette équation ne peut admettre qu’une seule valeur réelle positive de y; car y étant positif, le second membre augmente ou diminue en meme temps que y.