CHAPITRE VIH

dtux à-deux est égal à la somme des deux chiffres extrêmes. On propose de déterminer ce nombre.

Soit x le premier chiffre à gauehc du nombre cherché, et supposons que ce nombre contienne n chiffres, les valeurs de ces n chiffrés seront *

leur somme sera [2X -+- 2 (» — 1)] X - », ou n{x-\- n *— >0 ;

le nombre de leurs produits deux a deux sera - n (n — »)> et la somme de» chiffres extrêmes se réduira à ax + 2 (»— *)• On devra donc avoir ,

Pour éliminer x, on égale les deux valeurs de x-f-n — 1 tirées de (1) et (2) , ce qui conduit à

La seule racine réelle de eette équation étant 5 , on fait n=5 dans (0 ou (2), ce qui donne x— 1. Le nombre demandé est donc 13579. Il est facile de s’assurer que ce nombre satisfait à toutes les conditions du problème.

5' PhoSlAm*. Déterminer la somme des puissances semblables des termes d’une progression arithmétique.

Soient a * b, c, d, . . . , k, l , les termes de la progression, èt f la raison; on a

6p=:a + t-, c = b + }, d = c + f,..., l — h + à', d’où '/+ iV— * m(m— 0 (m— a) «“-V 5 -P etc. ,

— ^J1»— *<f * + - m(m — i) ( m — 3-+-etc.,

't+- mlm — n m(m— 1) (m— a) km~ î/, + etc. a o .

Ajoutant ces équations membrd à- membre, et désignant par

S„, Sm — , , Sm,, etc. , les sommes des puissances /7», 771 — Ty m — 2, etc. , des termes de la progression, on trouve

S« — a"=S«— (m — i) V* — /“—*)-+■ etc.;

d’oil

(■)•• -Sm-1 = + — (/“ — a») — - - — — (S.-. — /—’) — etc.

Cette dernière formule fait dépendre Sm, des puissances inférieures Sm», Sm 3, . . . , s», s,, s».

Donnant successivement à m les valeurs i, 2, etc., on trouve

s«= 1 + — a),-S, =/-+ ^ -^(S0 — *)> etc-5

ce qui détermine les sommes S0, S,, etc. , en fonction du premier terme a, du dernier terme l, et de la raison

Pour exprimer S0, S,, etc., au moyen de a, de 7, et du nombre n des termes'de la progression , il suffit de remplacer l par sa valeur a + [n — i) «T, (page 268).

Exemple. Soit propose de calculer les sommes des puissances entières successives des' n premiers nombres naturels 1, 2, 3, 4 j 5* 6., 7 j 8,. — i,b.

Dans ce cas, a = 1 , ï= 1 , /= n ; et la formule (1) conduit à . •

Sm, = nm~‘ + - (^Li) ( S^ - n"-*) — etc.

Donnant successivement à m les valeurs 1 , 2, 3, 4, etc., on trouve

On voit que la somme des cubes des nombres 1,2, 3,...,», est égale au ijuarrè de la somme de ces nombres.

Soit n — 5, les relations (2) donnent

6' Problème. Calculer le nombre des boulets contenus dans une pile dont la base est un triangle équilatéral ABC (jig. ’l),