CHAPITRE Vm
ou un rectangle ABCD {jig. 3), ou un qunrri ABCD (jig. 4) j tous Us boulets se touchent et sont de même diamètre.
i°. Considérons la piU triangulaire SA UC {Jig. x)y pour calculer le uoinbre des boulets contenus dans cette pile, on la divise en tranches horizontales à partir du sommet S, on obtient les tranches représentées {Jig. 2) (*) ; la première tranche contient un seul boulet S, la seconde a£y en renferme 1 + 2 ou 3, la troisième abc en contient 1 -f- 2 + 3 ou 6, . . et en général, la niimt tranche est composée de 1 + 2 -f- ... -1- n boulets.
Les nombres 3, 6,. . . , 1 + 2 + . . . + n, etc., ont reçu le nom de nombres triangulaires , parce qu’ils expriment combien il faut prendre de cercles égaux et tangeus pour qu’on puisse disposer ces cercles en forme de triangle ( jig. 2 ).
Le nombre des bouleis de la pile SABC {Jig. I ), étant i+3+6+io+i5ou35, on formerait des piles triangulaires eu prenant 1 + 3, ou 1 -f- 3 +6, ou î + 3 + 6 + 10 boulets.
Les nombres 1 — (— 3 , 1 — 3 — f- 6 , etc., s’appellent des nombres pyramidaux j parce qu’ils expriment le nombre de sphères égales et tangentes qu’on peut disposer en pyramide triangulaire.
Les nombres de boulets contenus dans ces piles sont faciles A déterminer. En efTet, en partant du sommet 6, (fig. 1 et 2),
la ir' tranche contient 1 boulet S,
la '2e tranche en contient l 4-2,
la 3e tranche abc en contient 1 -f- 2 + 3,
la (n — 1)“"‘ en contient 1+2 + 3+ — + (n — 1).
Ajoutant les nombres contenus dans chaque colonne verticale, et désignant par X„, le nombre total de boulets des n — 1 tranches, on voit que
X i=(/i — i)foisr+(n — 2) fois a+n — 3) fois3-f-...+{n — (n — 1)} fo»(n — 1) =n{ t+ a +3 +..!(» — 1)} — { i‘ +2’ + 3* (n—i)* }.
(*) La figure (3) représente les cinq scctious horizontales faites dans la pyramide SABC (iig. 1) , par des plans mènes par les centres des boulets. ”
490 ALGEBRE.
Lorsqu’on prend une tranche de plus, le nombre total des boulets des n tranches s’obtient en remplaçant n parn + i dans ce qui conduit à . •
Substituant pour i-J-2 -J- 3+...-t-» et i*-f-2I-4-3î-f-.. leurs valeurs g n (« -f- i) (2n+ i), (page4B8),on
trouve
Le nombre n des tranches est égal au nombre des boulets du côté AB de la pile SABC.
Exemple. Soit la pile triangulaire SABC {fi g- i), composée des cinq tranches indiquées ( fig. a). Ona n= 5; la formute(i) donne X5 =: 35. Et en effet, les cinq tranches contiennent
i-f-3-(-6+io-T-i5 ou 35 boulets.
Remarque. Le nombre X des boulets contenus dans la pile tronquée aicABC (fig. 1)., se déduit de la formule (1). En effet, désignons par m le nombre des boulets du côté ab de la tranche supérieure abc ; le côté «£ de la tranche *Gy immédiatement supérieure renfermant m — 1 boulets, on obtient le nombre des boulets de la pile SaCy en remplaçant n par m—i dans la formule (1); la différence entre les nombres de boulets des piles SABC, S»£y, exprimant X, on trouve
(2). . . X = g { rc(n-f- 0 (»+ 2) — (m — 1) m(m i)Jf.
m et n sont les nombres de boulets des côtés ab, AB, des deux bases du tronc.
Exemple. Soit la pile triangulaire tronquée flic ABC {fig. 1), composée des trois tranches, abc, a'b'c , ABC, (fig, 2). On a m = 3, n = 5; la formule (2) donne X = 3i.
Et en effet, les tranches abc, a'b'c' , ABC, contenant respectivement 6, 10 et 1 5 boulets, le nombre total de ces boulets est 6-f-io-J-t5 ou 3t.
