CHAPITRE VIII

La formule (4) -donne Y = roo — 1 4 = 86.

Et en effet , le nombre des boulets contenus dans les trois tranches qui composent la pile abcdABCD est '<

3X6 + 4X7+5X8 ou 86.

3°. Enfin, pour dé terminer le nombre des boulets contenus dans une pile SABCD (fi g- 4 dans un tronc de pile

oicdABCD , dont la base est un quarré ABCD., il suffit de faire m — n et ni' = n , .dans les formules (3) et (4) elles donnent

La pile SABCD est terminée par un seul boulet, car on a /= m — n— o, et la file EF (fig. 3) contient ^4* l boulets.

Exemple. . Soient les deux piles SABCD abcd ABCD (fig- 4) > on a n = 5, n' — 3 ; les formules (5) donnent,

Et en effet, si l’on évalue les tranches qui composent ces piles, on verra que

Ys = 1 * + 2* + S* 4-4*4- 5* = 55 , Y== 31 4- 4> 4- 5* = 5o .

§ III. Questions relatives à la théorie générale des Équations. .

3 1 1 . 7® Problème. Déterminer les diviseurs du nUm‘ degré du polyrwme (1), . . xM -f px"-1 4-?*m 1 + . . .-h sx-f- t, que nous désignerons par f (x).

Ces diviseurs étant de la forme

. x» 4* ax*~' 4- bxn~ * 4* cx*~ 3 4* • • ■ • 4* hx 4- ly on divise x“ 4- pxm~' 4- etc., par x" 4 - axH~' 4- etc. ; ce qui conduit à un reste de la forme

Ax*“‘ 4- Bx"— + Cx*-3 4-'. . . .4- Kx 4- L. .

Ce reste devant être nul quel, que soit x, les n équations" (a)...A=o, B=r o, C == p K=o, L = o,

détermineront te a coefficiens inconnus, q, b, , l\

chaque solution du. système des équations (2) donnera un des diviseurs demandés.

Le nombre de ces diviseurs est

A: ® " 0 (m — î) • • fl -j- 1 )

car le polynôme x“ -f px™-' + etc. , étant le produit de m facteurs du premier degré, tous les produits.» à » de ces facteurs sont les diviseurs cherchés.

Par conséquent, si l’on élimine entre les équations (2) toutes les inconnues a,b,cf..., k , 7, excepté une, l’équation finale sera du degré N.

iet Exemple. Calculer tous les diviseurs du premier degré du polynôme (l). . .x“ +pxm~' -f çx"— ..+ sx + t.

Les diviseurs cherchés sont de la forme x — a, et l’on a démontré (n° 220) que la division du polynôme (ï) par x — a conduit au reste y (a). Les racines de l’équation f (a) = o , étant les mêmes que celles de f (x) = o, on voit qu’il suffit de chercher les m racines a, , a% , a3 , ai , as , . . , am, de cettè dernière équation ; les diviseurs demandés sont u

x — o,, x— a», x — o3, x— .a4, x — aS) ... , x — am.

2' Exemple. Calculer les diviseurs du second degré du polynôme (1) . . .xm -f- px”-’ -f qx**-* +. . . + sx -|- t.

On divise ce polynôme par x* -f- ai -f- b ; ce qui conduit à un reste de la forme Ax ■+■ B, les équations (2)...A=o, B=so, déterminent lès inconnues a, b! Lé nombre de ces diviseurs

étant -m(rn — 1), l’élimination d’une des inconnues a, b,

entre les équations (2), conduira généralement à une équation du degré - Vra (ot — r) .

i°. Soit /(x) = x3 — • 2x — 4, , ( 4 ••

Les équations (2)...À=o, tf=o, déviennent ■/< (3)...aa — b — 2 = 0, ai — 4 — 0;