CHAPITRE VIII
l’ élimination de b conduit à
a3 — smi — 4 = o; d’où û = 2, 0 = — 1 ±\/—i .
Supposant a = a, les équations (3 J donnent b=z 2; cé qui fournit le diviseur du sefcond degré xs-f-2x-f-2-
La division dç x3 — 22 — 4 P31, x3 + 7.x -f- 2 , détermine le quotient exact x — 2. -
20; Soit /(ar) = x44-x34- ax-4-6. ,
Les -équations (2)... A = o, B = o, deviennent 2 + 2 ab — a — a3 =: o , i3 5 — (o’+ i)ft + 6 = o;
Une des solutions réelles de ces équations est a — — 2., b ■= 3; ce qui détermine le diviseur x* — 2X-f-3.
La division de/(x) par x* — 2X+3, fournit le quotient exact x* + 2i + J; et les équations x3 — 2X 4- 3 = o , x* -f 2x^-2 = 0, donnent les quatre racines
x=i±.ÿ'~ 2, x — — 1 î' de/(x) ==o.
3l2. 8' PboblÙmb. Une racine* de F équation f(x)=zo, satisfait à une condition donnée ç («) = o ; déterminer cette racine.
Les équations f{t c)=o, <p(*):=o, devant admettre une même valeur de * , où cherche le plus grand commun diviseur F («) entre f(*j et <p (•) ; l’équation à une seule inconnue F («) = o , détermine * (n° 2^4) •
Exemple. Soient,
f (x) = x4 — ax — 12= q, ç («) =«! -J- 3a — 14 = 0.
On a f (*)=*/> — 3* — I?.
Le plus grand commun diviseur entre f (*) et ç (*) , est F («) = «■— 2 ; et l’équation * — 2=0, détermine la racine demandée a= 2.
g* Problème. Deux racines *j ? , de Fèquation /"( r) == °j satisfont à une relation donnée p (cl , £) == o ; calculer ces racines.
L>es racines cherchées doivent satisfaire aux conditions
(i).../» = o, (a) .../(£) = o , (3)... f («, 5)=o,. et toute solution commune à ces trois dernières équations jouit de la propriété demandée.
Pour découvrir ces solutions communes, on élimine G entre (2) et (3) , ce qui conduit à une équation (4) • • • F (et) — o ; les équations (1) et (4) devant admettre une même valeur de et, on obtiendra cette valeur en cherchant le plus grand commun diviseur A entre /"(a) et F («) ; l’équatioii A = o déterminera ».
Pour obtenir la valeur de G correspondante à une valeur particulière/' de » tirée de A = o, on fait <* = / dans ç (», G) =0, ce qui donne p (/, G) = o; d’ailleurs f(G) = o. La valeur cherchée de G devant satisfaire à ces deux dernières équations, on cherche le plus grand commun diviseur B, fonction de G, entre <p (/ , G) et/ (£) ; l’équation B = o détermine les valeurs de G correspondantes à » = /.
Remarque. Lorsque l’équation tp (/, £) = o n’est que du premier ou du second degré, on peut éviter de Calculer le plus grand commun diviseur entre p (/, G) èl f ( G)\ car toute valeur de G, tirée de <p (/, G) = o , convient à la question si elle réduit f(G) a zéro
i'r Exemple. Soit
f (x) — x' — 4xa -f- x -f- 6 = 0, <p («, G) = S' — «-4-1=0. On a
Il s’agit de trouver les valeurs de « et G qui satisfont au système de ces trois dernière* équations.
L’élimination de G entre <p(«,6) = o, /(ff) = 0, conduit à
Pour trouver le plus grand commun diviseur A entre /"(a) et F («), on supprime d’ahord dans F («) le facteur a qui est premier avec / («) , et la question se réduit à chercher le plus grand commun diviseur A entre **■ — 4 «“+*+6 et a* — -jà-(-i2 ; on trouve A = a — 3; l’équation « — 3 = o, donne «= 3.
Pour calculer la valeur de G correspondante à *=3, on fait ct=3 dans <p (*, G) = o, ce qui donne G — 2==o; d’où G = 2. Cette valeur de G réduisant f(G) à zéro, bn voit que les racines cherchées sont « = 3 , G = 2.
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