CHAPITRE VIII

2* Exemple. On sait que l’équation

f(x) = x4-f-x'i — yx* — x + 6 = o,

a deux racines égales et de signes contraires ; il s’agit de trourver ces racines.

La relation $ («, C) =o, devient « + C=o. On a

f (a) = a.1 e? — "jet* — et -f- 6 = o ,

f(C) = ff4 +C3 — 7C* — C + 6 = o.

Pour éliminer S, on tire C de la relation * + C=o, ce qui donne £= — a; et la substitution de la valeur — « de ff dans f( C) = o , donne

On cherche le plus grand commun diviseur A entre f (a.) et F (et) , et l’on trouve A=«* — I ; l’équation et* — l =o donne m = + * et * — — 14 les valeurs correspondantes de C, déduites de ol + S = o , sont C = — 1. = -f- 1 . Chacune de ces valeurs de C Satisfaisant à l’équation f(C) = o , on voit que les racines demandées sont + 1 et — 1 .

Remarque. On peut parvenir plus simplement aux valeurs de « qui conviennent au système f (2) = 0, F (et) =0; car il donne .

/(*) — F (et) == 1» («” — 0 = o,

et l’équation et* — 1=0 , fournit les deux valeurs -f- 1 , — 1 , de • qui conviennent au système f(*) = 0, F(*) = o.

3* Exemple. La différence entre deux racines inconnues ctj C, de L équation f(x) = x3 — 1 3x -f- 1 2 = o., est 2 ; trouver ces racines.

On a /"(«)=« ts — i3et + 12=0» /’(£) = ?’ — >3® + 12=0.

La relation $(«,€) = 0, devient S — « — 2=o;d’où £=«-)- a.

Substituant cette valeur de C dans f(£) = o, on trouve

F (et) = u3 + 6et* — et — 6 = 0.

Le plus grand commun diviseur entre f(e) et F (et) est

4g8 ALGÈBRE.

A b « — i • L’équation A s=o donne ■» i ; la valeur correspondante de G , déduite de C= <t + 2 , est C = 3. De sorte que les racines cherchées dq x3 — 1 3x -f- 1 a = o , sont -f- 1 et + 3 ; la troisième racine est o — (1 3) ou — 4 3 67 , 5e).

10* Problème. On sait que les trois racines de V équation

(1).. ,f(x) = x3 — i5x*4- 71X — io5 — o

sont en progression arithmétique ; il s^agit de trouver ces racines.

Les racines cherchées étant de la forme o, a l, a -J- 2/, les relations du n° 225 donnent

a (a -+- i) + a (a + 2^) -+- (a -{- È) (a -f* 2JO = 7 1 .

Ces deux équations se réduisent à

Pour en déduire les inconnues a, i', on tire de la première équation , 1=5 — a; et en substituant cette râleur de i' dans la deuxième équation, on. parvient à

a * — » 10a -f- 2 1 = o ; d’oïl a = ’j et a“ 3;

les valeurs- correspondantes de l, déduites de i^=5 — a, sont d‘=— 2, <T = -J-2.

Chacun de ces deux systèmes détermine les mêmes racines 3 , 5, 7, de l’équation (1).

U» Problème. On sait qu'une équation du mitm' degré f(x)=o, a n racines qui forment une progression arithmétique dont la raison est une quantité donnée l' ; il s'agit de trouver .ces n racines.

S h désigne la plus petite des » racines cherchées , les i»** - 1 autres seront a -t" l, a -J- il, . , . a + (n — 1.) È, et on aura

f{a) — o, /(a + /) = 0, f(a + ni) = o ,... , f\a+nl— *= o.

L’hypothèse x = a réduisant h zéro les » fonctions

£■*), * f{x -f- i) , f(x+ f(x + ni- 1),