CHAPITRE VIII

elles sont nécessairement divisibles par x — a; et par conaérr quent, si l’on cherche leur plus grand commun diviseur, ce diviseur'"égalé à ïéro donnera x = a. Connaissant q et S', on en déduira les n — i autres racines a 4-|^, a a+ (/i — t) «T.

Exemple. Soient, « = 3, ^=2, et ' **«• In

f (x) == X4' — iSx3 rf 4ix“ 3-jx —Zio — o.

■ On trouve que le plus grand commun diviseur des fonctions f (x) , f (x4* 5.}, f (x est x — 3 j et. l’équation x^-i3=»o

détermine la racine 4- 3 de f (x)=zso -, les deux autre» racines demandées sont 3 4- a et 3 + 4- La somme des trois racines 3, 5, 7, étant *5, la quatrième racine est 1 3 — i5ou — a.

Lorsque les fn racines de l’équation

x" +. pxm~‘ 4- qxm~~* -j- . . . -f- sx t = o

forment une progression arithmétique dont la raison est une quantité connue t', ces racines font de la forme

leur somme est- m { aa 4- (m — i)J} ( n° «47); et cette somme devant être égale à — p (n° aa5) ^pn ». ,

-p; d 'oh (i)...a= — ^ (m — i)/— — .

Exemple. Soit l’équation . •» . .. ; i . , ,

» , j . „ x3*-* i.5a^4-^iiPTT- soSasso, i >

dont les racines forment une progression arithmétique ayant a pour raison; on aura m— 3, p x= — i5, et la for-

mule (i) donnera a = 3. De sorte, que les trqjs racines de l’équation .r3 — i5x^ 4- 71X — io5 = o sont 3, 5 et 7,

3i3. la* Problème. On propose d’ exprimer quJune équation a deux racines égales et de signes contraires.

Soit l’équation - ■ ■ •'

(1). . . xm + -f. . . .-f. qx3 -grx* + ii+lco.

Si l’on désigne par 4" o et -—a les deux racines dont il s’a-

fiat

git, on aura

(a). .. o“+Aa^-*H-Ba"*rt-Ca“-3+. . .-+■ qal -f~sa-bt = or

(3^. . am — Aa«— I — Ca"-3+. . .ipça3 — ra’ ^ Ja±< = 0,

et on prendra le* signes supérieurs ou inférieurs , selon que rn sera un nombre pair a» ou un nombre impair an -+• i.

Les équations (2) , (3) , devant avoir des solutions communes, il faut que leurs premiers membres admettent un commun diviseur. Si l’on continue les calculs relatifs à la recherche du plus grand commun diviseur, jusqu’à ce qu’on parvienne à un diviseur du second degré, ce diviseur sera de la forme a1— a, et le reste correspondant sera indépendant de a ; bn exprimera que l’équation (1) a deux racines égales et de signes contraires en égalant ce reste à zéro.

On peut simplifier les calculs précédens. En effet, supposons d’abord que m soit un nombre pair 2 n-, les équations (2), (3), auront le même dernier terme -f- 1 -, si on les ajoute membre à membre, et si ou les retranche ensuite l’une de l’autre, on obtiendra le système équivalent

(4). . . a“ + Bo‘— * -f- • • .+ ra* + t = o,

(5) . . . (Au1— + Crf*-* -f •) a = o.

Le dernier terme t n’étant pas supposé nul , on peut ôter le facteur a contenu dans l’équation (5) , car l’hypothèse a=* o ne satisfait pas à l’équation (4) ; si l’on supprime ce facteur, et si l’on pose ensuit» la question sera réduite à trouver

les valeurs de a qui satisfont au système • ,

,/v f -f-f=xo,

W ’ l As"-’ 4- Cz«— + . . . •+■ qz + s = o.

Pour y parvenir, on cherche le plus grand commun diviseur entre les premiers membres des équations. (6), et on continue les calculs jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste R indépendant de z ; la condition nécessaire pour que l’équation (1) admette deux racines égales et de signes contraires est R==o; le reste P (.*•) qu‘ précède R, devient le plus grand commun diviseur

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