CHAPITRE VIII. 5og

Éliminant metn, on parviendrait aux trot* conditions ac=2c/, a* = 4^* c*=4«.

3 «4- 17e Problème. On propose de transformer l'équation

(l). . . xm -f- pxm~l -f- qxm~t -f-. . . + sx -f- <= i= a, ’•

en une autre f(y) — Oj qui ne renferme pas une puissance donnée de y.

On fait x=y -f- * dans (i), et l’on développe les diverses puissances de y-\-* suivant les puissances décroissantes de y, le résultat est de la forme

(a)... y + Py— 1 + Qy”M +...+ S<y+T = o; ‘ et l’on a

P = m* -J-p, Q = — i)a2-r (m — i)pa -j- q,...t

S == mam~‘ -J- (m — l)prnm~% -f- (m — 2) qrnm~3 +. . .+ s,

T = +p*K-' •+■ ?*m* + • • • + sa + t.

L’indétermipée a- entrant dans tous les coefficiens P, Q...S, T, servira à faire disparaître la puissance indiquée de y.

Quand il s’agit de faire disparaître le second terme j on égale son coefficient P à zéro; ce qui donne

Par conséquent : Pour faire disparaître le second terme dJ une, équation xm -f- pxm~' -f qxm~% +... + *J+t=o, il suffit d'égaler l'inconnue à une nouvelle inconnue augmentée du coef ficient du second terme pris avec un signe contraire et divisé par F exposant tn du premier terme.

Et en effet, soient a, b, . . . , t, le$ racines de l’équation (i) , et a', b',..., I' , celles de l’équatioq (a), ou aura (n° 2a5) ,

•,p = -Ca+i + ..-+*)> P = -(*'+i'+...-M0.

Or, la relation + ^ frit voir que les racineè de l’équa-

5 10 ALGEBRE.

tion (2) sont égales « colles de l'équation (i) Augmentées de — ;

TTL

donc • ... ^

ajoutant ces m égalités , on trouve

la' -f- b’ rf*. - .-+i i') — (o «+■ b -f*. . . -J* k) -f- T» fois Sm r~ on

Ttl

Le coefficient P de y- 1 est donc zéro. •. . .

Exemple. Soit proposé de faire disparaître le second terme de F équation

x3 + 6x* — 4æ + 2 = o; on pose cç=y — x=y — a» etTa transformée

se réduit à y* — i6y -f- 26 = o.

St Bon vent faire disparaître le troisième'terme de l'éqnation (2) , on égalera son coefficient Q à zéro ; l’équation qui détermine « étant du seeond degré, donnéra deux valeurs de a. De

sorte qu’il y a deux manières de faire disparaître le troisième terme.

En général, quand on veut faire disparaître le réim‘ terme, c’est-à-dire le terme affecté dey"*- , l’équation qui détermine « est du degré n — 1 .

Enfin , s’-il s’agit de faire disparaître le dernier terme , on sera conduit à résoudre l’équation du m,lm‘ degré,

am + p«m l -f- ÿ»”-1 .,4- «• -|- l = o ,

■qui a les mêmes racines que l’équation (1).

On pouvait prévoir corésultat. En effet , la valeur cherchée de « devant réduire à zéro le dernier terme T de l’équation- {2) , il faut que y — o satisfasse à cette équation ; or la valeur correspondante de», déduite de la relation a?s=y«+>», est «=x;