CHAPITRE VIII. iSfi

racines réelles positiveset négatives de l’équation (i), se réd&it

à calculer les racines réelles positives de l’équation (5). A , n Ainsi , pour transformer l'équation ' t»

(6) ... x3 — qx + 6 = o ,

en une autre dont toutes Us racines réelles soient positives > on cherche la limite supérieure des racines négatives de l’équation (6) , cette limite est — 4 (n° ^36); on pose

y=x + 4, d’où x = y — 4;

et en substituant cette valeur de x dans (6) , on obtient l’équation demandée ' * -,

. , — ; vc ♦ . .rjt —

dont toutes les racines sont nécessairementpositives.

Et en effet , les racines de l’équation (6) étant -j-i , -J-s , — 3 ,

la relation y=x-f- 4 fait voir que les racines de l’équation (7)

sont -4-5, -f- 6 et -f- i.

3” Exemple. On veut que toutes Us racines de l’équation (2) soUnt égaUs à celUs de l'équation (1) , multipliées par un nombre donné a. ‘ ' • -h*» >'M «

La relation (3)... . <p(x, y) = 0 devient y — etx-, pour.éK-

miner x, on remplace x par sa valeur l’équation (1) donne, l’équation demandée o. '

3i5; 19" Problème. On propose de former une équation $(y) =Oj dont Us racines soient Us différentes sommes qu'on peut former en ajoutant deux à deux Us racines de l’équation du mitm‘ degré (1). . ./"(x) = o.

Si l’on raisonne comme dans le n° '294, et, si l’on désigne par a et z deux racines quelconques de l’équation (1) , on sera conduit à éliminer a et z entre les trois équations

l'équation finale F (jy) =0 aura pour racines, non-seulement

les sommes a + b , b + a , a + c, (c + a, etc., deb m racines a, b, c,..., b, de l’équation (i), mais en outre les doubles

a p o, 6 + 6, , * + de ces racines; car la relation

y — z' + z détermine ces m* valeurs dey, en mettant successivement pour z' et z chacune des m racines a , b, c,. ■ , b. Le premier membre F (y) sera donc le produit des m% Facteurs

y— {a+b), y — (a+c), , y — (a+b), etc.,

(*+o) , y — (c +u) ■ • • • , y— (* +«) » elc- >

y— 2U, y—zb, y — IC,..., y—zb\

ce qui revient au produit des facteurs

{.y— (a + 0 , {y — («+•*)}’> etc., y — aa, y — 2b, y — 2 c,...,y— ai.

Or, ?(y) = {y— (or+6)} {y — (a + c)}- • • f y— («+*)}• Donc F(y) = {? (y)}’ X (y — 2a) (y — *b) . . . . (y — 2b) .

Pour supprimer dans F (y), les facteurs étranger? y — aa ,

y 2 b,. .., y — 2 /b, on forme l’équation dont les racines sont

les doubles des racines a, b, c,..., b, de l’équation ( 1 ) ; et à cet

effet, on pose y = 2x, d’où x= la substitution de cette valeur de x dans (1) , donne l’équation demandée /Q y) = 0

la division de F(y) par/Qy), fournit le quotient {<p(y)}*,

et la racine quarrée de ce quotient est le premier membre de l’équation demandée <p(y) = o, qui a pour racines les

- m(m — 1) sommes a + b, a + c, b+c, etc., des m racines

de l’équation (1 ).... f (x) = o.

Remarque. On peut préparer les équations •

de manière que l’élimination, de z et z' conduise directement à l’équation ^(y) = o; à cet effet, 011 remplace d’abord z