CHAPITRE VIII
if
par sa .valeur y — a ; il reste à éliminer a entre * , y ^ f (a) — o et f(y—z) = o, ou ce qui revient au même, à éliminer x entre /(x) = o et f(.y — x)=o.
Pour débarrasser ce dernier système des m valeurs étrangères 20,26, 2 dey, correspondantes à y = 2x> onM^u..
substitue le système équivalent
or, le polynôme f(y — x) — f(x) est divisible par y — 2x, car la valeur y — ix le rend identiquement nul; effectuant donc cette division , on supprime les m valeurs étrangères sa, 2 b, 2c,..., 2 h, dey, correspondantes à y = 2x; et si l’on désigne le quotient par F,(x,y), l’élimination de x entre les équations f{x) — o, F,(x, ^) = o, conduira directement à
l’équation demandée ç> (y) = o, dont les ~ m(m — i) racines sont les différentes sommes , a + b , a-\-c, etc. * >
Exemple. Soit f (x) = x3 — 2 x*1 — x -f 2 =='o.r
On trouve F,(x, y) = x“ — yx -f-y* — 2 y — 1 ia= o. #■*..
Pour éliminer x entre ces deux équations, on divise fÇx\ ■
par F, (x, y), ce qui donne le quotient x + y — 2' et le reste — y3 + 4y‘ — 3y = ç(y). On a *'*<-
(2).../(x) = F,(x, jO X (x4-.y — 2) + tp(y).
Les racines o, 1 , 3, de l’équation — y3 -f- 4j 0) sont les sommes que l’on obtient en ajoutant deux àfd'eifx les racines +1, — J, 4-2, de f(x) = o: ^ . V *
On peut observer que pour chaque valeur S de y tirée -<|e fW = o, l’équation F,(x, y) =0, détermine les deuj^ racines de/(x) = o dont la somme est f ; car la spmrae dés deux racines de F, (x, C ) = xa — Cx + G2 — 2C— 1=0 est égale à S (n° 225), et y = C réduisant p(^)à zéro, la relation (2)
démontre que les valeurs de x tirées de F, (* , £) — o sont des racines de/Cxl^o.
20' Problème. Déterminer l’équation <p ( y ) = °j dont les racines sont tous les différent produits deux à deux des m racines a, bJ Cj. . • j ij kJ de l’équation du mlimt degré (1). . ,/(x) = o.
Si z et 2' désignent deux racines quelconques de l’équatiou (1), on sera conduit à éliminer 2 et 2 entre les trois équations
/(s) = o , j?(z') = 0, zX%' — y.
La dernière équation donne z j et en substituant cette valeur de 2 dans f(s') = o , il ne reste qu’à éliminer, z entre
/(*) — o et /(f) = o,
ou , ce qui revient au même , à éliminer a: entre
l’équation finale F O)=o , à laquelle on parviendra, aura pour racines les m‘ valeurs •
ab, ba,ac, ca , bc , cbt..., it , ki , a®, 6% c*,...,,»*,**,
qui se déduisent de la relation y = zz en donnant successivement à s et 2' chacune des m valeurs a, b, c., • • *, k.
’ Or, ab = ba, ac—ca,bc — cb , . . . , ik xé ki) donc
f(jO={pOO}*x (y— «*) (y.—ùfLr* (y—n =
Pour supprimer les m valeurs étrar A*, on forme l’équation dont les racines sont a* , v et à cet effet on pose JT— > Fé^j^ation de x entré /(-c)==o et x*—y = o conduit à'Vétÿtfàitron'V, (j')=o, dont les racines’sont les’quarrés des racines cfe l’équation f (x) = o ; la division de F (y) par <pt(y) donne le quotient { 9 (>')}’; et en extrayant la racine quarréë de ce quotient , on obtient le premier membre de l’équation demandée ip (jk) = o.
Remarque. Si l’on veut parvenir directement à l’équation
