CHAPITRE VIII. 5i

<p (/)=o, on remplacera le système f(x) = o, f(~ç) — P , P31" f (■*) == a» f(^c) — f ~ 0 > ^hypotlii'se y = x* réduisant à

*éro le premier membte/^Q — / (x>, il est divisible par

y — x*; désignant le quotient par F, (x, y), le systènie (a). . . f (r) = o, F, (a: ,y) = o , n’admet plus les valeurs a", b*,..., F‘, dejf, correspondantes à y = x“; et l’élimination dex entre les équations (2) conduit à l’équation demandée $ (y)— 0 .

Exemple. Soit y(x)-=x3 — 2xa — x + 2 = o.

On trouve F,(r, y)=zx* — 2X3 ~h(y — i)x* — ayx-f-y*.

Pour éliminer x entre les équations y(x) = o, F1(x,j’) = o, 011 divise F,(x, y ) par f(x), ce qui fournit le premier reste yx*— 2(y-f-i).r-f- y1; la division de (x3 — 2X* — x+2) y' par ce premier reste, conduit au second reste ( — y3 — y%+/\y-\-l£)x. La valeur x = o ne convenant pas à l’équation proposée /(x) = o, on peut supprimer le facteur x contenu dansTe second reste, ce qui conduit directement à l’équation

dont les racines — 1 , -f- 2 , — 2 , sont tous les produits deux à deux des racines •+• 1 , — 1 , + 2, def (x) = o.

Pour chaque valeur G dey tirée de ^(y)=o, l’équation y. r3 — 2 (y 1 ) x -f- y% = o , fournit les deux racines de /(x) = o dont le produit est G-, cances deux valeurs dex réduisent /(r) à zéro et dépendent de l’équation Sx* — 2(ff-f-,)x4-0*==o dans laquelle le produit des racines est G (n° 225).

2i® Problème. On propos» de former une équation

(2). <p (y) = o, dont toutes les racines soient égales aux quo-

tités que fon obtiendrait si l’on divisait successivement chacune des m racines a , b , ù, . . . , i, h de l’équation du m"Mt degré (1).../ (x) =Oj par chacune des m — 1 autres.

Soient s et z deux racines quelconques de l’équation (1) , on est conduit à éliminer z et si entre les trois équations

La dernière équation donne a' — zy , et en substituant la valeur zy de a', dans /'(z,)= o, il ne reste plus qu’à éliminer z entre /"O*) — © et/’(y')=;0; ce qui revient à éliminera: entre

/(x)=o et y(xy) = o;

l’cquation finale F (y) = o aura pour racines les /res valeurs

qui résultent de la relation y = — en donnant successivement à

z et il les m valeurs a, b, c, . . i, k.

L’équation F (y) == o admettant m valeurs de y égales à l’unité, F (y) sera divisible par ( y — i)m, et le quotient <p (y) égalé à zéro donnera l’cquation demandée (2) — tp (y) = o, dont les m ( m — 1 ) racines sont les quotiens

ïi —»•••* îi

Il résulte de la forme des valeufs de y que l’équation (2) est réciproque (n° 3o3); la recherche de ces valeurs dey ne dépendra donc que de ‘ la résolution d’une équation du degré

Remarque. Pour parvenir directement à l’équation (2), on remplace le système f (x) = o , f (xy) = o ,

par le système équivalent y(x) = o , f{xy) — y(x) = o.

Le polynôme f(pcÿ) — f (x) est exactement divisible par (y — 1) x; car chacune des hypothèsesy = 1 , x = o , le réduit à zéro. D’ailleurs y = 1 correspond aux m valeurs étrangères a b i k . .

-> t, 1 , et x = o ne satisfait pas af(x)=z o (*); dé-

du' 1 k

(f) On suppose que f(x) = o n'a pas de racine nulle.