CHAPITRE VIII

communes qu’il y a de coefficiens arbitraire s dans f équation qui en renferme le moins ; car chaque solution doit convenir à l'équation qui contient le moins de eoefficiens indéterminés, et on ne saurait se donner plus de solutions de cette dernière équation qu’elle n’a de coefficiens arbitraires.

i'r Exemple. Soient les deux équations à une seule inconnue,

(i). . . ar’-f-Qx-f R = o, x3 +pxa + qx+ r=s o.

On peut se donner , au plus , deux solutions arbitraires communes à ces équations.

Si les solutions données sont x= — 2 ,15 — 3 , ces valeurs de x substituées dans les équations (1) conduiront à

Les deux premières équations donnent Q = — 19, R= — 3o.

Les deux autres renfermant les trois coefficiens p,q ,r, on peut assigner des valeurs arbitraires à l’un quelconque de ces coefficiens. . .

On peut aussi exprimer deux des coefficiens p, q , r, en fonction du troisième; on trouve de cette manière que

<7 = 5/7— 19 > r = 6(p — 5).m De sorte que le système

x3 — igr — 3o=o,

X 5 + px * + (5/7 — 1 9) X -f 6 {p — 5 ) = o ,

admet les valeurs x= — 2, x= — 3, quel que soit p.

Et en effet , si l’on divise les premiers membres de cés équations par le produit X* 5x +6 des facteurs correspoudana aux racines communes x — — 2, x = — 3 , on obtiendra des quotiens exacts x-— 5, x -j~ p — 5; le système précédent revient donc à

Remarque. Lorsqu’on donne à l’ indéterminée £7 Ja valeur +4»

5aa

ou retrouve le système

X3 — igr — 3o = o, x8-f-4*a-l-x ~ 6 = °,

auquel on était parvenu ( page 5o']).

Ou est conduit aux mêmes résultats, en exprimant que chacun des polynômes x3 + Qx-f- R, x3 -h </x-J- r, est di-

visi.tîl'epâr. le produit x* + 5x+6 des facteurs correspondans aux r^çéues' C.0RUW11 nés — 2 et — 3; car en elTectuant ces deux jp^Wc.nt aux restes

et ces'ï'eîSlei dev^iïf être’mils quel que soit x, il faut que

d’où

Q = — 19, R = — 3o, qz=5p— ig,r= 6(p~ 5).

2e Exemple. Soient les deux équations à deux inconnues ^

X‘+ax—y'—i.y+b—o , x^Ccy-f-aOx-f (y’-f-2y4-r)= o ;

JT .

ou peut se donner deux solution^ communes arbitraires. Supposons que ces solutions StHfent

Ces valeurs de x et y devant|>atisfaire aux équations proposées, on obtiendra quatre équations entre a, b, c, d, e, qui donneront a = o, b =x — 1, c = d= 1 +e; de sorte que les équations demandées sont

**— (y‘+2y+0=<> , (e+ 1 )(y+ • )x-h(ya+2^+e)=o.

Chacune des solutions données satisfaisant à ces équations quel que soit e, on peut déterminer e de manière qu’une des solutions de la 1". équation convienne à la 2e équation.

Par exemple, soit y xz 1 ; la ir* équation donne x=± 25 si l’on exprime que y = 1 et x = — 2 satisfont à la 2* équation . on trouvera e = 1 .

Il en résulte quelle système

, x1— x’-f-2(y -f 1 )x+(ya-I-2y+ Ü=° > l?vT:V* /’: *