CHAPITRE Vlll

admet les trois solutions .

3* Exemple. Soient les deux équations générales à deux inconnues,

x-+(ay+b )x—' +(cy ■ -H/j- +* )*"* +• • • - Kp/ ~ +• • • •+■ <r +0=0, ** 4-(a‘y-f-i')x"-' +. +. . .-ys'y- t-t')=o,

fu/ie afu »»H"* degré j Vautre du niim* degré.

Si l’on désigne respectivement par M et N le nombre des coefficiens arbitraires de chaque équation, on aura

M = - m (m + 3) , N = -ra(«-f3), (page 52o).

Lorsque n est moindre que m, on peut se donner au plus N solutions communes, car ces N solutions déterminent les N coefficiens de la seconde équation. La première équation contient encore M — N coefficiens arbitraires que l’on peut clicncher à déterminer de manière que M — K autres solutions de là seconde équation conviennent à la première; les équations qui en résultent admettent M solutions communes.

Quand n = m, on ne peut se donner au plus que N — I solutions communes, et il reste un coefficient arbitraire dans chacune des équations proposées. Si l’on prenait N solutions communes, les coefficiens de la première équation seraient déterminés par les mêmes équations que ceux de la seconde ; de sorte que les deux équations se réduiraient à une seule.

irc Remarque. Les propriétés précédentes supposent que les équations du premier degré qui fournissent les valeurs des coefficiens arbitraires sont possibles et déterminées. Quand on est conduit à des équations indéterminées ou contradictoires , la question proposée est indéterminée ou impossible.

2.° Remarque. On démontrera dans le n° 334 que le nombre des solutions communes à deux équations du mUm‘ et du nUm‘ degré entre x et y, est tout au plus égal à raXn. On ne doit donc jamais chercher à déterminer les coefficiens arbitraires de manière que les deux équations proposées admettent plus de m'y. n solutions communes.

ALGEBRE.

Par conséquent, lorsque m> n, on peut se donner au plus

- n(n 4- 3) solutions communes, pourvu que

- d’où n>2m — 3, (n°68, page 142).

Quand m=n , on peut toujours se donner + 3) — v

solutions communes, car la condition

-i»(»-f-3) — 1 conduit à

n* — 3/»-|-2<o, oui (n — i) (« — aj<o, ce qui a nécessairement lieu puisqu’on suppose que n est un nombre entier positif.

Si l’on voulait introduire un plus grand nombre de solutions communes, les équations entre les coefticiens arbitraires seraient contradictoires ou indéterminées; dans le premier cas,, la question serait impossible*, dans te second cas, les équations entre x et y admettraient une inimité de solutions communes, ce qui tiendrait à ce que les valeurs des coefiiciens introduiraient uu facteur commun entre les premiers membres de ces équations.

317. Nous avons prouvé (n° 220) que si la valeur i=« réduit un polj nome entier à zéro , ce polynôme est exactement divisible par x — a. Nous allons généraliser ce principe en démontrant que si l'hypothèse x = et réduit à %éro une fonction algébrique f (x) j rationnelle ou irrationnelle, cette fonction peut toujours se ramener à la forme (x — «)“ X F (x), l’ exposant m désignant un nombre positif, entier ou fractionnaire , et F (ce) n'étant jamais nul ni infini.

Pour démontrer cette propriété, on met le facteur (x — «)" en évidence , en remplaçant le binomé x — <t par un monome h ; ce qui revient à faire x=m -f" h dans y (x) ; le résultat fije+h) devant devenir nul quand on y fait A=o, il faut que le développement Aef{a -1- h) suivant les puissances croissantes de A, ne contienne que des ct posa 11s positifs de A; car s’il renfermait des puissances négatives de h , ou des termes indépendans de h,