CHAPITRE i

terme (i3 — i)a3 du dividende, par ie Ier terme {b — i)a* du diviseur; ce qui conduit à diviser b3 — i par b — i , le quotient étant 6* 4- b -f- i , le i " terme du quotient total demandé est (éa + b + i)a, car a3 divisé par oa donne a.

On retranche du dividende, le produit du diviseur par le i'r terme du quotient , ce qui fournit le i'r reste

La division du i*r terme — (Z>* — i)a* de ce reste , par le i'r terme (6 — i )a* du diviseur , fournit le 2* terme — (6-f-i) du quotient. On retranche du i" reste, le produit du diviseur par le 2' terme du quotient; le reste étant nul, le quotient obtenu (&* + b -f- i)o — {b -f- 1 ) est exact.

26. Suivant que les dividendes partiels et le diviseur sont ordonnés par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes d’une lettre , le quotient est ordonné de la même manière.

Pour que les exposans d’une lettre diminuent dans les restes successifs , il faut ordonner le dividende , le diviseur et les restes , par rapport aux puissances décroissantes de cette lettre, et réunir en un seul terme tous les monomes affectés de la même puissance de cette lettre. On parvient alors nécessairement à un reste , dans lequel le plus fort exposant de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné est moindre que dans le diviseur; et on dit que ce dernier reste est moindre que le diviseur {page 9 )•

Quand le dividende , le diviseur et le quotient , étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d’une lettre x , on parvient à un terme du quotient tel que l’exposant de x , dans ce terme , est moindre que le plus petit exposant de x dans le dividende, diminué du plus petit exposant de x dan» le diviseur, on est certain qu’on ne parviendra pas à un reste nul.

En effet; si le quotient étant exact, les derniers termes du dividende, du diviseur et du quotient, sont *tP, Cx*, et yx', on aura ( n° 19, page 26)

3a ALGÈBRE.

«XP — Cxl x yx' = Cyl1+r ;

les coelRciens * , £ , y , ne contenant pas x , il faut que p—q-t-r, d’où r = p — q. Le quotient, lorsqu’il est exact , ne peut donc pas contenir un exposant de x moindre que p — q. Ce qui démontre le principe énoncé.

27. Lorsqu’un polynôme a un diviseur indépendant de la lettre par rapport à laquelle il est ordonné j ce diviseur divise exactement chacun des coefftcitns de cette lettre. Cela résulte évidemment du principe du u° 20.

On peut d’ailleurs le démontrer directement. En effet; si une quantité i, indépendante de a, divise A -f- Ba -f- Ca‘ -f- etc., le quotient q de cette division sera nécessairement de la forme a -f- + ya7 + etc. , car i ne contenant pas a , il n’y a qu’un

quotient de cette forme qui multiplié par i puisse reproduire le dividende. On a donc

A+Bn+Co* + etc. = (a +Ca+yti* ■+• etc.) * /=«/-)- Gfa-fy/^-t-etc.

Mais, les polynômes A CV+etc., a^+C/'a-f^aa-|-etc. doivent être les mêmes; il faut donc que

A — ai', B — Ci, C ~ yi, etc.

Ce qui démontre la propriété énoncée.

Par conséquent : Pour diviser un polynôme par une quantité indépendante de la lettre par rapport à laquelle ce polynôme est ordonné j il suffit d’ effectuer la division sur chacun des coeffit iens de cette lettre.

Exemple. Soit proposé de trouver le quotient de

(A“ — c*)a3 -f (ù4 — c4)a* -|- 3(A-}-c)a parA + c.

On divise chacun des coelRciens b7 — c*, A4 — c4, 3(A-f-c) , par A + c; les quotiens étant b — c, b' — cA’-f-c’A — c1 et -f- 3, le ' quotient total est (A — c)a3+(A3 — cb7-)-c7b — c3)aa-f-3a.

28. Quand le dividende étant exactement divisible par le diviseur, on n’ordonne pas les dividendes partiels et le diviseur, la division d’un terme quelconque de chaque dividende, par un terme du diviseur, peut ue pas fournir un terme du véritable