CHAPITRE VIII

en y faisant h — o, il y aurait des termes qui deviendraient infinis, ou qui ne se réduiraient pas à zéro; le développement def (<* -fi h) est donc de la forme f (a -J- A) = ph" -fi rhm+t -fi etc. = hm (p -fi rh * -f- etc.).

Si l’on remplace h par sa valeur x — a, on trouvera

/(x) = (x — «)m X {p + r (x — <*/-fi etc. }.

Donc, F (x) =p -fi r(x — «)* etc. , et F («)=/>.

Ce qui démontre le principe énoncé.

Esemfle. Soit /(x) = V/r — * -fi (x*-fi*r — 2**).

L’hy pothèse x=<t réduisant f (x) à zéro, on fait x = <t -fi h dans f (x), et l’on trouve

f (<* 4- h) = A* ( i -fi 3«A* -fi- A* ).

Remplaçant h par sa valeur x — a , on voit que

f(x) = (x — «)ï {i -fi3«(x — «)5-f-(x— a)1 .

3i8. 24* Problème. La fraction^— j se réduit à ^ lorsqu1 on

y fait ic=<t; il s'agit de déterminer la valeur que prend cette fraction , lorsqu1 après avoir supprimé le facteur (x — «)* qui entre dans ses deux termes j on fait X— » dans la nouvelle fraction qui en résulte.

Désignons par z la fraction donnée. D’après le principe précédent, on a y(x) = P(x — d)m , <p (x) = Q (x — «)* , m et n sont des nombres positifs , entiers ou fractionnaires; et pour x = «« , les fondions P, Q, prennent des valeurs particulières, p, q, qui ne sout jamais nulles ni infinies.

Or, on peut avoir , m=s=n, ou m>n, ou m<^n, et en supprimant les facteurs communs à j(x) et Q (x), les valeurs correspondantes de z sont

En supposant x = a , la valeur de z se réduit à une quantité

finie - , ou à zéro , ou à l’infini.

5a6 ALGÈBRE.

Pour obtenir cette valeur déterminée de z , on met les facteurs (x — fO", (x — *)m, en évidence en faisant x = «-f-A dans f (x) et <p (x) ; on développe f (« -4- A) et Ç>(* + A) suivant les puissances positives et croissantes de A, ce qui conduit à /~(« -)- A) pA“ -j- rhm + t-\- etc.

^ Z” — qhm + shn + > + etc.'

On divise les deux termes de cette dernière fraction p«rla plus haute puissance possible de A , et on fait ensuite A = o. Je résultat est la valeur de z correspondante à x = «.

Ier Exemple. Soit

L’hypothèse x = a réduisant z à -, on fait x=a-|-A dans la fraction proposée , et l’ôn trouve

3 »»A -f- A* 3m -4“ A z 2«A -f- AV tm+K

En supposant A= o, on voit que la valeur de z correspondante

a x=«, est — .

2* Exemple. Soient les fractions

L’hypothèse x = 2 les réduisant à - , on fait x= 2 + A dans les deux termes de chaque fraction; elles deviennent

t/2 A — v/2 On extrait la racine quarrée et la racine cubique de2-|-A, on supprime les facteurs communs aux deux ternies de chaque fraction; et en supposant ensuite A = 0 , on trouve que pour x = 2 , les valeurs des fractions proposées sont respective-

ment, - t/2 , *éro et l’infini.