CHAPITRE VIII

ir* Remarque. Lorsque la valeur de x qui réduit ) à ”

est x=o, la méthode précédente revient à développer f(x) et <p (x) , suivant les puissances positives et croissantes de x; les deux termes de la fraction qui exprime z deviennent divisibles par une même puissance de x, et cette division effectuée donne

une fraction que l’hypothèse x=o ne réduit plus à

Exemple Soit z = ■

On extrait successivement la racine quarrée et la racine cubique de 1 x, et l’on trouve

ix+J..r*etc. -i + j*-etc.

— rl+-x' — etc. — - -f- - X

etc.

En supposant x s= o , on voit que la valeur correspondante

de z est -.

2e Remarque. Quand les deux termes de la fraction ,

qui est réduite à - par la valeur x = a, sont des polynômes

entiers par r apport à x, les propriétés des fonctions dérivées conduisent très simplement à la valeur que prend cette fraction lorsqu’on y fait x — <t.

En effet , dans ce cas , si l’on fait x~a.-\-h dans l’expression

dez, on a

f(a + h) /W +*/'0) + ~ htf" M + etc-

(p («) -f hf{m) AV (<*) 4. etc.

Or , par hypothèse , f («) et <p («) sont identiquement nuis j

5ü8 ALGEBRE.

supprimant ces termes et divisant par h , il vient

/'(«) +~hr oo + etc-

f '(•) + i 4- etc.

Supposant A = o dans (i),on voit que la valeur de z, corres-

pondante à h =o, est - -, ■■ ;■

Quand f(a) et p'(«) sont nuis, les deux termes de l’expression (i) de z deviennent divisibles par A, et en faisant ensuite

h = o , la valeur correspondante de s se réduit à £ë^y Et ainsi de suite.

En général , lorsque V hypothèse x = <t réduit à - une frac- (*1')

tion J , dont les deux termes sont des -polynômes entiers par

rapport à x, on obtient la valeur de cette fraction qui correspond à X = es j en faisant successivement x~ » dans Us expres-

• /(*) f(*) fW , .

fions ,, . , , -57—7 j etc. j jusqu a ce au on parvienne

à une fraction qui ne se réduise plus à j ; cette dernière exprime la fraction demandée.

x3 — 3«*x -J- 2 td /(x)

* or1 — «x* — «'“x a3 p (,r) *

Ou a /'M /W=&£ eic

Supposant x = «, on trouve

Exemple. Soit

La valeur de z

inte à x=i est donc - .