CHAPITRE IX H

Thcone des Jonctions symétriques. Applications de cette théorie à la recherche de Véquation aux quarres des différences, à l’élimination, à la détermination du degré de V équation finale , etc.

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S I- Théorie des fonctions symétriques. : ,u

3.9. Une FONCTION est dite symétrique, par rapport à plusieurs quantités , quand elle reste la meme lorsqu’ onTchinge ces quantités les unes dans les autres de toutes les manières possibles

*'tr

Ainsi, a'b3 + b'a3 + a’c3 + c'a 3 + b'c3 4. c'b3,'

IVt({ZT°" Symélriq}le dCS lettreS b>c> on la désigne

En general, TCa^c* etc.) représente la somme de tous les*'4,

termes de la forme a*b‘ c> etc. , que Ton peut composer avec les ‘ lettres a, b , c, etc. -.•• i

On représente ordinairement la somme T(o«) par s . d„ sorte qne • r " ’ t ”r"

s, =a -f b 4- C + etc., s.zra’+^ + c' + etc

S3 = ü3+è3+C*+etC.,...,S„ = ûn + An+(4etc;’

Selon que chacun des ternies d’une fonction symétrique contiendra une lettre, ou deux lettres, ou trois lettres, etc., nous dirons que cette fonction est simple, ou double, ou triple, etc. Ainsi , s, , sa, «3> etc., sont dés fonctions symétriques simples ; L(a'/> ) est une fonction symétrique double, etc.

n Los théories contenues dans ce dernier chapitre ne sont pas exigées pour I admission h V École Polytechnique. 1

53o ALGÈBHK.

3 9.0. Ier Problème. On propose d’évaluer les sommes des puissances semblables et entières des racines d line équation j au moyen des coejjiciens de cette équation.

Soit (i). . . xm' + p,xm~' +ptxm-> +... + pm-,x+pm=o l’équation proposée , dont nous désignerons le premier membre par /(x); représentons par s,, s„ «3, etc., les sommes des puissances ir', 2e-, 3e, etc. , des m racines a, b,c,.. k, de l’équation ( 1 ) , de sorte que

Sl=a-f-6 + c4-.-- + *. s, = a, + ^,+ c*+"-+^>*tc' Pour parvenir aux relations qui déterminent les sommes s,, st, s 3, etc., en fonction des coefficiens p, , p*, • . • , Pm-\ > pm, nous considérerons f (x) sons les deux formes

(7.)...f(x)=xm+p,xm-‘ +ptxm-*+...+pm-*x>+pm lx+pm , (3).../(x)=(x— a) (x— b) (x— c) (x—k),

alin d’obtenir deux expressions différentes de la dérivée/' (x), qui par leur comparaison fourniront les relations demandées.

On a vu (nos 245 et 246) que les dérivées des expressions (2), (3), de/(x), sont

™ f’( r) — mr"—-+-(7n— 2)/JaXm-34--+P»-.

. /(£) , /(*) ^ j. iËL

Pour que cette deuxième valeur de f (x) devienne comparable à la première, il faut obtenir son développement suivant les puissances entières positives et décroissantes de x.

Or, on a trouvé (page 362) que le quotient de la division de f (x) par x — a est