CHAPITRE IX

Et on en déduit les quotiehs de / (r) pâr chacun des m — i autres facteurs x — b, x — c , , x — A, en remplaçant successivement a, par b , par c, . . ., par b. f.

Si l’on forme de celté manière la somme îles m quotiens qui composent /'(x), si l’on remplace ensuite les sommes*

am~* + bm~1 + ... + h”-* , a"1-* -f 6"-J + . . + tm~ Y

par s,, s», ■ . sm») «m i , et si l’on égjdeJes coefficiens des

diverses puissances de x, dans cette seconde expression de /'(x), aux coefficiens des puissances semblables de x, dans la première expression

mxm-'+(m — i)/»,xm“’4-(m— 2)/>,xm 34-...4-2/>m 4x47/>^I

'j ‘.Jf

dey' (x) , on parviendra aux relations ' yf - '■ ;-.-y

l^l+P^0» *a-fpiS,+2p»=:0, S3+/)IS«+iPîSI+3^3=0 , . n i4/,iSm 3-f"/,lSin-44'”'+/,m— 3Si4~("* — O, »l4-/'iSm.4-P*Sm j4--‘4-/>m»S,4-('» — °-

Ces m — i équations donneront les valeurs des m — î sommes

s, , sx, s$,..., sm t, sm , , en fonction rationnelle des m— i

coefficiens p, , p, , pu ■ >., pm r; car la iw équation détermine s, en fonction de p,; la substitution de cette valeur de s, dans la 2e équation , conduit à la videur de s, en fonction des deux premiers coefficiens p,, p,; substituant ces valeurs de s, et s, dans la 3e équation, on obtient «3 en fonction des trois premiers coefficiens p,, p», ps ; et en continuant ainsi, on trouvera s„, en fonction des m — 1 coefficiens p,, p%, . . .,pm-,- On parvient de cette manière aux formules

(5 )...«, =— p,, s,=p,* — 2pa, «â=— p,34-3p,p» — 3p3, etc.

Pour s’élever ensuite aux sommes sm, sm+I , «m+s, etc., on multiplie tous les termes de l’équation (1) par x", ce qui donne

X“+" 4-p,X~V"-‘ +pxXm+*-‘ 4--. -4- Pm-lX*+' 4-pmX» = 0.

Cette dernière équation devant être satisfaite lorsqu’on y

Sm- 1'

532 ALGLBftfc.

remplace successivement x par chacune des m racines a, b, c , . b , de l’équation (1), il en résulte les m équatious

+p,ar'+*~‘ + ... +Pu>-,a*+‘ +pma • = o ,

bm+-+Plbm+~*1 .+p„lb*+'+pmb*=o,

k"+' . .+/>„,*»■*- +/)mA*=o.

Ajoutant ces m équations , et remplaçant les sommes

ain+»| lm +m £"+» , a«+»-> -f. fe-n-H— ‘ &">+«-' )etc->

par , Sn+», , etc. , on parvient à l’équation

Celte relation ayant lieu quel que soit n, on en déduit les valeurs des sommes *B , sm+, , sm+1, sm+3, etc. , en fonction des sommes s0 , s, , s, , . . sm, , en donnant successivement à l’indéterminée n les valeurs o, 1,2,3, etc., ce qui conduit à

ilm -f-PiSm-, +• • • Pm - i»i 4~Pm*o = °>

Sm+, +...+ fm-i«i+fmsi =°J

*m+» +Pi*ra+i +P>*m +• • • +pm— 1«3 + />m»a — O , etc.

Or , «0=a0-f*50 4- c° 4-...+ /i0= i -f- i 4- 1 +— + i =m,

et l’on a fait voir comment on peut exprimer les sommes s, ,

«s , . . . , sm , , au moyen des coefficiens dè l’équation ( i ) ; on ob-

tiendra donc de cette manière toutes les sommes des puissances entières positives des racines de l’équation (t) en ibnetion rationnelle des coefficiens p, ,ptt. . . ,pm,' de cette équation. Exemple. Soit l’équation

a:3 4- px* + 2* + r — o ;

en la comparant à l’équation générale

xm-\-plxm~' +ptxm~‘ -t-piX"-* +ptxm~* + etc = o,’ on a .

m 3 , p, = p , pt—q, P3 = r, p4= o, p5= o, etc.,

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