CHAPITRE W

et les formule» générale* (4)> (7)> (pages 53 1 et 53a) , conduisent à

s, + p = o, r.-Hpj, 4-27 = 0, s»+pst + qs, +3r = 0, r* -f- pss + qs*'+ «, = o, îj -f- + çsj-f- rr» = o , s g +pssH- çu -+-W3 = ® , Î7-hpt6 + <F5 + ri4=o, etc.

On en déduit

«i = — p, i»~ p*— aç, i3= — pP+Zpq ■

i4=p' — 4pJ9 + 4Pr + 2<?‘» . t • .

J5 = — p5 + 5>> 17 — 5/j‘ i—5pq‘+5qi,

S6 =p° — 6/dq +67)'/ 9ps</’ — 1 zpqr -j- 3 r2 — 2 q3 ; etc.

« . v.i- L jj SbSLi

Quand p = o , ces relations se réduisent à

i,— o, s,= — a<7, i*= — 3r, s^—^q2, ss=5qr, s6=Zr‘ — 2q\ etc.

Remarque. Ce qui précède donnant le rttoyen d’exprimer les sommes s,, s,, 53,..., sm, , des puissances entières positives des racines d’une équation /"(.t) = o , en fonction des coefliciens de cette équation, la formule(6), (page 532), j>eut couduire aux sommes s, , s, , s 3 , etc., des puissance^ entières négatives de ces racines, en donnant successivement à l’indéterminée il les valeurs — 1 , — 2 , — 3, etc. Mais , en opéraut ainsi , les sommes s, , Sji s 3> etc. , dépendant, des sommes st, s», s*, etc.

On peut trouver directement les formules qui dé terminent les sommes des puissances entières négatives des racines de l’équation f{x) = o , en fonction des coefficiens de celte équation , en

faisant x — ^ , dan*y(x) = o ; car les sompies des puissances

entières positives des racines de la transformée f(f^ = 0,

sont les puissances entières négatives des racines <\e f(x) =0. Nous laissons aux élèves le soin d’effectuer ces calculs qui ne présentent d’ailleurs'aucune difficulté.

321. 2* Problème. On propose d’exprimer les fonctions symétriques j doubles , triples j etc.j des racines d’une équation j au moyen des coefficiens de celte équation.

Nous représenterons toujours par f (x) le premier membre de l’équation proposée

et par a, b, („ . . . k , les m racines de cette équation.

Le problème sera résolu , si .nous parvenons à déterminer les

fonctions symétriques T (a~b , 1 \aabCc*), etc., au moyen des sommes s,, stJ S3 , etc.., des puissances des racines a, b, c..., k • car les formules (4) et (7), (pages 53i et 532), pouvant servira déterminer les valeurs de s ,, s„, rj, etc., en fonction des coefficients ptl p, , ps, e te. , de l'éq nation (i), il ne restera plus

qu’à substituer ces valeurs dans les expressions de T (a b ) , T (a*b^ c* ) , etc. Cela posé :

i“.Pour évaluer la fonction symétrique double T(û*i^), noos multiplierons l’une par l’autre les deux expressions

'Sç = Cl -fr O -7- C -f"» • • “T" K •

Les deux facteurs étant symétriques par rapport aux lettres a, b, c,. . .,k, leur produit devra l'être aussi ; de plus, il ne renfermera que deux espèces de termes , savoir : ceux tels que aa'*"^qui proviendront de la multiplication de deux puissances d’une même lettre a , et ceux tels que a*b^ , qui proviendront de la multiplication des puissances de deux lettres différentes. D’ailleurs , puisque le produit est symétrique et contient un terme a* e , il renfermera nécessairement tous les autres termes 6* + + . ., à*+c, de la fonction symétrique

que nous avons représentée par Par une raison sem-

blable , ce produit contenant un terme renfermera nécessairement tous les autres termes baae, a“ c^, caa^ , etc., de la fonction symétrique que nous avons représentée par T (o“èf). Donc

i.XSf=sa+c+T(a‘‘àf); d’où (2)... T {a*b<‘)z=sfX.st — s4+f.