CHAPITRE IX

Remarque. Quand les exposa ns a, C, sont égaux, on ne peut plus faire usage de la formule (2) -, parce que dans le produit de sa par sç, les termes a“if, baac, a“cC, c*aC, etc., devenant égaux deux à deux, ce produit contient deux fois chacun des termes a“ù% a*?*, etc., de la fonction symétrique demandée T(a*ô‘t).

On a donc

i.X ia='s«+a+aT(a‘tè#) ; d’où (3) . . .T(a“ù*)=Vs» — j a» ).

• . 1 Ou parvient directement au même résultat en élevant au quarré les deux membres de l’égalité

sit=a* + b‘ + c‘t+ ... + kai car ce quarré étant formé de la somme s2a des quarrés a2*, b’1*, c1*, ..., des termes de s^, plus ,de deux fois la somme T(aaù“) des produits deux à deux de ces termes, on a

***= + 2 T (a-ù“) ; d’où T (a*i‘) = •

On est donc en état d’exprimer les fonctions symétriques doubles T(a*ùf), T(a‘ù«), au moyen des fonctions symétriques simples sa., s g, , s3a.

2°. Pour évaluer la fonction symétrique trif)le T ( a“ùCc> ), on

multipliera entre elles les trois égalités . *, ,

sa = a“ 4- ù“ 4- c“ +• • •+

•c = dC'+ bc + cf + - • •+ te,

s =zay+i>* + c>-+..:+w, ’ ’ •

le produit sera composé de termes dé trois espèces; car si les trois termes qu’on multiplie renferment la même lettre , leur produit contiendra cette lettre affectée de l’exposant a. -\-S.+y, ce qui donnera les termes de la forme a * s *1 ny a que

deux des trois facteurs monomes qui contiennent une même lettre , leur produit renfermera cette lettre affectée de la somme

ALGEBRE, i

et -f- ff, ou • + y, ou G -f-y, des deux exposans de cette lettre, et il renfermera une autre lettre affectée du troisième des exposans et, C, y, ce qui fournira des termes des trois formes

(f+'by , a*+> bC , aC+> b « .

Enfin, si les trois facteurs monomes contiennent trois lettres différentes, leur produit sera de la forme a*£^c1'.

D’ailleurs , ‘le produit total des facteurs *{»' «y, étant symétrique par rapport à toutes les lettres a, b, c, . . . , k, ce produit renferme nécessairement tons les termes dont nous relions d’indiquer la forme; il est donc égal à la sQtniue des cinq fonctions symétriques

T (a“+f+>), T(aa+fi>), T(ûa+>if) , T(ac+>6“), T (a‘6ec>). Substituant pour les fonctions symétriques doubles

T (a*+f i>) , T(a*+>if) , T (af+>A“) , leurs expressions déduites -de la formule générale

(2) . . . T(a*&f) = s* X sc — , (page 534) > .

et remplaçant T(aa+*+>) par sg | Ç| , « on trouvera, toutes réductions faites ,

(4)...T(ac,5CC>)=acl«fsv sCsa+y sys*+C^ 2s*+C+y ‘

On parvient au meme résultat en multipliant entre elles les deux égalités

T(a*bc) =n a*bc + 6*ac + a*cC + c*ac + etc. ;

car ce produit, qui doit être symétrique, ne renfermant que les termes de trois espèces qui composent les fonctions symétriques

T(a“+>5C), T (««**•), T(o«ifc*) , '

on a

s> X T (a*bc) = T(a«+»Aff) + T (aP+>b*):+ T(a*bCc>) ; d’où