CHAPITRE IX

T = syX T{a*bc) — T(a'*+>6C) — ;

et si l’op remplace T(a*Z>^), T(a“*^if), , par leurs

valeurs, déduites de la formule (2) , on obtiendra la formule (4).

Remarque. Cette seconde manière de parvenir à la relation (4) paraîtra sans doute plus simple que la première ; cependant le premier procédé est préférable , parce qu’il conduit à des calculs qui sont symétriques non-seulement par rapport aux lettres a, b, c,..., b, mais encore par rapport aux exposans*, C, y, de ces lettres. Le produit sa s^ sy reste le même quand on change l’un quelconque. des exposans «, C, y, en un autre, ce qui n’a pas lieu pour le produit de sy par T (a*èf).

Quand deux des exposans a, », y sont égaux , C et y par exemple, les termes delà fonction symétrique générale.... T (cffic*) deviennent égaux deux à deux aux termes de la fonction demandée T (a* b^ç^) ; car alors

a*bCc> = a'tccbï, b*ae:Cy = b*cea-y, etc.

Le premier membre de la relation (4) devient donc le double de la fonction demandée T (a*é^c^). Par conséquent, on obtiendra cette dernière en divisant par 2 le second membre de la formule (4), et en y faisant y — Q\ ce qui conduit à

(5) . . . T (a‘£Ccf) = ^ (saV— Va C ~ 2V*-K + 2î«4->c)-

Lorsque les trois expqpans myC} y,- sont égaux entre eux , le premier membre de la formule (4) se réduit à 6T(a“ixc“) j car. chaque produit de trois lettres donnant six permutations , les termes de T (a*bCc>) deviennent égaux six à six. ■■

Par exemple, les exposans*, C, y, étant égaux, chacun des six termes

a*b:Cy, a“cfé>, lfaSc>, b* fat, c*aCb>t c*bCa>y se réduira a*bacx.

On obtiendra donc la valeur de la fonction symétrique demandée T (a*é“c“) , en divisant par 6 le second membre de la formule (4), et en y faisant y =zC — «; ce qui conduit à

On arrive au même résultat en faisant 6 = *, dans la relation (5). En effet, lorsque G — a, les termes de T (a“èfcf) deviennent égaux trois à trois, puisque

a*bScC — b*a?c: = c*uebe, a*b^d? — b*aCd? = , etc.,

on obtiendra donc la valeur de T (t i*é*c *) , en divisant par 3 le second membre de la formule (5), et en y faisant a— G\ ce # qui conduit à la formule (6).

Connaissant les fonctions symétriques triples T (a'lbcc>')i T (a‘ifcC), T( a“b*ca) , on en déduirait les fonctions symétriques quadruples T (a“è£c>d',') , en effectuant le produit des sommes s<e> SC> s j ou en multipliant st par T(a*6^c>').

Et ainsi de suite.

Les fonctions symétriques T (a“6f) , T (a“é^c>) , etc. , étant ainsi déterminées au moyen des sommes sa, sç , stt t ç. s^, etc., des puissances des r seines- a, b,c,. . t, de l’équation

(i)... xm +p,xm~' 4- p.xm*-l-...-f-pm 1x + pm = o,

pour exprimer ces fonctions symétriques au moyen des coefliciens p, , pi} p3 , etc., il ne reste plus qu’à déduire des formulés (4X, (7), (pages 53i , 532) ,les valeurs de sa, sc, etc., en fbhction de p,, pt, p3 , etc., et à remplacer les sommes su sj , été., par leurs valeurs en fonction de p,, p», P3 , etc.

322. On en déduit ce théorème remarquable que toute fonction algébrique rationnelle et sy métrique des racines d’ une équation j peut s’exprimer rationnellement au moyen des coefficient de cette iquqiion.

Exemple.. Sp.it l'équation privée de second terme

X3 -î-| qx + r = o. /