CHAPITRE IX

Représentous ses racines inconnues par a, b, c, et proposonsnous d’exprimer la fonction symétrique double T (a*é3) , au moyen de» coefficiens q , r. On a *

(2) . . . T (a* b1) ess a'b3 -f- è*a3 -f- a’c3 -f* c*a& b*<? -f- c'b3.

La formule générale T (a*è^)=«a8f — f*+c> donne

et l’on a vn (page 533) que

s, — — iq, «3 = — 3r, «5 = 5qr.

Substituant ces valeurs de s», «3 , «5 , dans l’expression (3) de T(rt*Z>:i), on trouve T (a*P) = qr.

Si l’équation donnée est x3 — 7X + 6 — 0, on aura

T (a*à3) ss= — 4a*

On peut le vérifier; car les racines de x3 — ?x +6=0 sont a — 1 , b — 2 , c = — 3, et en substituant ces valeurs dans (2) , on trouve , toutes réductions faites , T (n*63) = — 42*

§ II. Applications de la Théorie des fonctions symétriques.

323. 3* Problème. On propose de calculer, au moyen des fonctions symétriques, l'équation aux quarrés des différences des racines d'une équation donnée f(x) — o.

Les formules qui serviront à résoudre ce problème devenant beaucoup plus simples juand l’équation donnée est privée du second terme, nous supposerons que la proposée est ramenée a la forme . .

(1). . . xm-f p3x’"-34- . . .+pm.X*+pln,Æ+pm5=0<

L’ équation aux quarrés des différences des racines de l’équation (1) est la même que celle de l’équation f (r)=o; car I» méthode qui sert à faire disparaître le second terme d’une équation ( page 509) se réduisant à augmenter toutes les racines

5/jo

d'une quantité constante, les différences entre les racines de la transformée . -

(*)• •• pjx^-h- . .-f pm—o

sont les mêmes que celles des racines de l’équation primitive. Cela posé : si l’on désigne par a, b, c, ... . , k, les m racines

de l’équation (i), les * m(m — i) racines de l’équation aux

quarrés des différences seront

(a— b)1, (a— c)*,..., (a — h)' , (b— c)*, (6— d)\... , (b— k)\etc.

Posant - m (m — i) — a, et représentant par z le quarré de

la différence entre deux quelconques des m racines a, b, cr..,t , l’équation cherchée sera de la forme

(2) ... z* -f P, z*"1 + P*—» + . . . + Pm,z + P„ = o.

Il s’agit d’exprimer les oœfficiens inconnus P,, Pa,'P3,,..,Pm> de l’équation (2) , en fonction des cœflïciens , pt, p3, etc. , de l’équation (i).

Or, en regardant Pj, P,, P3, etc., comme des inconnues, les formules (4)> (page 53i) , conduisent à

f Pi = — S, , P» = ~ (S,* — S4) ,

[Ps = - S.S, — - s3 — | 6,3, etc. ; et le coefficient p, étant zéro, les mêmes formules donnent

(4).;. (*,=0> ** — — 2Pn*a=.— Sp s» «4.^52 pf,

's3~5p»p3t *s~3 p3* — a)?.3, etc.

Tout se réduit donc à déterminer les sommes S, , S,, Ss, etc., en fonction des sommes s,, s,, s3t etc.; car lorsque ces fonctions seront connues , en les substituant dans (3), les coefficiens P«> Pa, Es» etc., deviendront- des fonctions déterminées des sommes «*, 53, etc.; et en' remplaçant ces dernières par leurs expressions (4) ,onobtiendraenfm les coefficiens inconnus Pi<P»i Ps, etc., en fonction des coefficiens donnés p^,p3) p± : etc.