CHAPITRE ÏX

Cherchons donc une formule qui détermine les sommes Sr, S,, S,, etc., en fonction des sommes s, , sm, *3, etc.

Les a racines dè l’équation (2) étant

(«— b)\{a— c)*,. . . , (a — ky, (fr— c)% (' b—df ,. . ,,(è — k)',elc. ,

la somme S» des nlim“ paissances de ces racines est

S„ = (a — b)tm + (a— c)”* (a—ky* + ( b-cy - + etc.

Or, si l’on désigne par <p (x) la somme des paissances an des m facteurs (x — aj , (x — b), (x — c),. . (x — k) , de l’équation (1) , on aura

<p(x) = (x — a)*"-}- (x — ô)'"1-l-(x — cyn + . . .-1- (x — hyn ;

et en donnant successivement à x les m valeurs a ,b, c,. . . , k , la somme des m valeurs correspondantes tp (a), ç> (b) , <p(c) . . , <p (k) , de ÿ(x), sera évidemment égale à 2S„, car 2/1 étant un nombre pair, on a

(a — b),n — ( b — a)5*, (a — c)!* = (c — a)s", etc.

Pour obtenir une seconde expression de

nous développerons les puissances 2 n des m binômes x — a, x — b, x — c,...,x — ft; ce qui donnera

(x — dyn =xa*— 2,ncixtn~ '-f- — n^x0"- *— . .

(x — byn = x4n— 2 nbx™-' 4- ?&»X*— . . . 4- è4"

{x—kyn —x,n—ankxin-‘+ » . ...4,/;**.

La somme de ces m développemens exprimant p(x), on obtiendra cette autre valeur de f>(x),

^(x) = mx,m — 2/u1x,"~,4 a”^2na — • •■•+■*»«>

car

Donnant successivement à x les m valeurs a, b, c, , h,

on a

ç (a) = ma“ — 2 as, a -+■ — -.«.a**-**- . .

p(5) = mb'n — 2 riSibtn-‘ -J- . .-f-j,,,

ins,k"~'

La somme de cos m développemens devant être égale à 2S„, on a

2S, = nu„ — 2 n-s,i,», +

“V«a-i “ • • • “4" m-Sm >

car

as»-‘4-à*"-,+...4-*“-,=««., etc.

Cette formule conduirait aux valeurs demandées des sommes S, , S» , Sa , etc. , en fonction des sommes s, , s% , r$ , s4 , ss , sg, etc. , en donnant Successivement à n les valeurs 1 , 2 , 3 , etc. Mais on peut la simplifier; en effet, les coefficiens du second membre étant ceux du développement de la puissance 2/i d’un binôme , les coefficiens des termes également distans des extrêmes sont égaux et de même signe. D’ailleurs, ce développement ayant 2n-|- I termes , le terme qui en a p ayant lui est de la forme A ; le terme qui en a p après lui fest précédé de 2« — p termes, et est par conséquent Âstn-rV Les termes également distans des extrêmes sont donc égaux et de même signe.

Il en résulte que si l’on réunit ces tefmes deux à deux, la valeur de aS„ se réduira au double de la somme des n premiers termes augmenté du (n ■+- 1 )i,mf terme qui est celui du milieu.

Or, le (p ■+• i)iimt terme est

j 2n(an — i) (an — a). . .(an— p+ i)

* « . 21 . 3 ~ p SpS%*-p ;