CHAPITRE IX
transformée sera
(8)--. y3— ny-¥ 7-o-
L’équation aux quarrés des différences des racines de l’équation (8) est
(9)... z3 — 42za + 44iz — 49= o-
Or, les différences des racines sont les mêmes dans chacune des équations (7), (8), car les valeurs de y sont respectivement égales à celles de x augmentées de 1 ; l’équation (9) est donc aussi l’équatiou aux quarrés des différences des racines de l’équation (7).
324- 4* PhoblÈmf.. Une équation f(x)=o étant donnée , déterminer V équation <p ( y) = o dont les racines sont les diverses valeurs que prend la fonction z -\-z' -f- pzz * lorsqu’on y met successivement pour z et z' , deux racines différentes de U équation proposée.
Soit y = z + z' -f- pzz'.
Si les rn racines de l’équation du mUm‘ degré f(x) = o , sont a,b,c,d,e,...,h,i,k, l’inconnue y aura les - m(m — 1) valeurs
la + b pab ,■ a~\- c -\-pac , a-{-k-\-pak,
! b + c. + pbc, b + d-\-pbd, b -4- k -\-pbk,
(1)... (c + d-t-pcd, c + e +, pce , c-\-k+pck,
[Â-f-i-l-pAt, i + k + pik.
Connaissant la forme des -^m(m — 1) racines (i)de l’équation ç(y) =0, on obtiendra cette équation en égalant à zéro le produit des i m(fn — 1) facteurs
y — (a+b + pab),y — (a + c+pac), . . ,y— (i+k-\-pik),
correspondans aux (m — 1) valeurs (1) de y.
Ces facteurs renfermant toutes les combinaisons deux à deux
54t» ALGÈBRE.
«les m racines a, A, c, . . ., k, leur produit reste le même lorsqu on y change les quantités a,b,c,...,l, Ies unes dans le» autres; car les /acteurs ne font que se changer les uns dans les autres. 11 en résulte que si l’on effectue la multiplication de ces facteurs, le produit sera une fonction symétrique des racines de l’équation f (x) =. o -, par conséquent, les coefficeiss des diverses puissances dey dans <f(y) , seront des fonctions symétriques de, racines a, b, c, que l’on pourra
«primer au moyen des coefficiens de l’équation donnée/(x)=o.
Exemple. Soit l’équation (2) . . . x3 -(- qx ■+■ r= o.
Si, a, A, c, désignent ses racines, l’équation <p(v)=odont les racines sont
a+b + pab, a+c + pac, b + c + pbc, s’obtiendrait en égalant à zéro le produit des facteurs jr — (a + b+pab), y — (a + c+pac), y-(b + c+pbc).
Mais, on peut éviter d’effectuer les multiplications, en observant que l’équation <p (y) = o étant de la forme
(3) • • • y3 + Py* + Qy -j- R — o,
les relations du n" 225 fournissent le moyen de former les coefiiciens ...connus P, Q , R , en fonction des racines, a + b+pab a + c+pac, A-fc-fpAc, de l’équation (3).
On trouve de cette manière que
11 = 2(c + b -f c) -+-p {ab ac + bc) ,
= / (a* + A’ + c») + 3(aA + ac + bc) l + pT(a'b) + p‘T(a‘bc) + 6pabc,
R=J T(a*) +pT(a’b‘) + 3pT(a’bc)
1 + W‘T (ab‘c‘) + p'a'b'c* -f aa Ac.
Or, o, A , c , étant les racines de x3 -f- qx -f- r = 0 , on a a+A+c=o, oA-Hac + Ac=9, abc = — r, et les formules des n« 3ao, 32. , donnent
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