CHAPITRE IX

— s i = a-j-è-f-c=o , j,= aa-f- b% -|-ea=— - 2q,

f3= — 3 r, f4 =29% j6 = 3r* — uq3,

T(as6)=— f3 = 3r, T(asi*)r=^ (i,* — i+) = 9%

T(«aôc) = sA — î i.a = o , T(aiaca) = *5 — sts3 = — qr.

On peut parvenir directement aux mêmes valeurs des fonctions symétriques

i., T (a' b), T (a* b'), T(aa6c), T(aèV),

à l’aide des artifices de calcul que nous allons indiquer.

Les relations du n° 225 donnent

a-\-b-+-c— o , ab ac + bc = q , abc— — r; on en déduit

o— («+ 6+c)a = s» + 2 {ab -4-ac-+- bc ) = s,-}- zq , s, — — 2 q, T ( a‘bc ) = e*Ac + èaac + c*ai = (a + i-f-c) aie = o

0==(a + ^ + c)(a6-f-nc+Ac) = T(aai) + 3aèc,

T(a‘b) = — 3abç=3r,

q * = (a£ +ac + bc)' = T(aaéa) + i.T(a'bc) = T (aa6a) , T(oèaea)=(èc -f-ac -j-a£) abc= — qr.

Substituant ces valeurs dans les expressions précédentes des coefficiens P, Q, R , on trouve

P= — pq, Q=q—3pr, R — ip'qr — p3r* — pq' — r.

De sorte que l’équation demandée est (4) • • -y3— pqy*-h (q— 3pr)y + *p,qr— p'r* — pq% — r = o.

Si l’équation donnée étant x3 — 72: -f- 6 = 0, on suppose p— 2 , l’équation (4) deviendra

Il est facile de vérifier ce résultat; car les racines de l’équation x3 — 7X -f 6=0 étant + 1 , + 2 , et — 3 , les racines

a-j-b-f-iab, a -j- c-f- 2ac, b -f- c -f- abc ,

de l’équation (5) deviennent + 7, — 8. — i3; et ces valeurs de y satisfont effectivement à l’équation (5).

Remarque. Pour obtenir l’équation dont les racines sont les sommes j a-f-b, a + c, b-\-c , des racines a, b, c , de l’équation (2) . . . r3 4- qx -f- r = o, prises deux à deux, il suffit de faire p = o dans l’équation (4) (page 547); on trouve que l’équation demandée est

(6). . -y3+qy — r = o.

Si l’on change dans cette dernière y en — x , on retrouvera l’équation (2)... x3 + qx -f- r = o. Les racines de l’équation (6) sont donc égales à celles de l’équation (2) prises avec des signes contraires.

Et en effet, la relation a-\-b ■+■ c = o, donne

325. En général: Si l'on veut former V équation quia pour racines une fonction déterminée des racines et une équation donnée f (x)‘= o j il suffit de faire dans cette fonction toutes les permutations possibles entre les racines a, b j c , . . de l'é-

quation proposée. Désignant ces valeurs successives de la fonction par ajÇjyj. on égale à zéro le produit des facteurs

y — «j y — G, y — y, . ■ .,y — <v; le résultat est l'équation demandée. Les coefficiens des diverses puissances de y sont des fonctions symétriques des quantités f, y, . . ., », qui sont elles— mêmes des foiwtions symétriques des racines UjbjCj... de f équation f(x) — o ; ces coefficiens pourront donc tou/ours être exprimés au moyen des coefficiens de l’équation proposée.

Les problèmes des n°* 323 et 324, offrent des applications de cette règle générale.

§111. Les racines dune équation dont les coefficiens sont réels , ne peuvent être que de la forme a-j-é \/ — J •

32.6. Nous supposerons toujours que toute équation a une racine. Il en résultera qu’une équation aura un nombre de racines marqué par son degré (n® 222).