CHAPITRE IX

Nous allons d’abord démontrer que toute équation f(x) = o dont Us coejficiens sont réels , a une racine de Ui forme , . .

ï, » etZ désignant des quantités réelUs qui peuvent

être nulUs.

Cette propriété remarquable repose sur quelques principes que nous allons d’abord établir.

l0- Lorsque l’on combine plusieurs quantités de la forme - + ei/=T j par voie d‘ addition, , de soustraction t de multiplication et de division > le résultat est toujours de la forme

* ~f-G V' 1j («, G) *, C désignant des quantités réelUs qui peuvent être nulUs). En effet, on a

(«-f-Çj/ — — i) = (*±a) + (Cdtèy/^7),

(« +g y/~t) x ( a+b V~i) = ( a * - K) -j- (oC+ b*) V~x.

Le produit de a -f- G — 1 par a-f-b[/ — 1 étant de la forme en résulte que le quotient de V — 1

par — 1 est de la forme' a -j- b V/ — 1.

Et en effet, on ramène le quotient de « -f- G\/ — 1 par a + b\/—i à la forme * +G'\/— 1, en multipliant le dividende et le diviseur par a — by'—i, car on trouve

* ~h G\/ —1 aa -f- bG i f aG— be\ m y — —

a + b[/=~i ~ ~^+br + \a*+ ÔV *’

On déduit de ce qui précède, que « désignant un nombre entier positif, le développement de («+£ l/ — 1)" est de la forme <*'•+■ G'[/ — 1 .

Remarque. La formule du binôme de Newton (page 243) , couduit à la même propriété ; car , d’après cette formule, le développement de (« -f- G \/ — i)" se compose d’une partie réelle

qui provient des puissances paires de G y/ — 1 , et d’une partie

imaginaire

C* -b a(n~ ") ^"~a) (n~V Ç‘ etc

"ri . a . 3 ! 4 • 5

qui provient des puissances impaires de £ 4/ — 1 (u° 85).

De sorte que (a -f- C[/ — 1)* est de la forme A -f- B C\/ — 1 -t A et B désignant des quantités réelles qui ne contiennent que des puissances paires de C, et qui sont composées d’un nombre fini de termes, (n est un nombre entier positif).

Le développement de (» — — 1)* pouvant se déduire de

celui de (■» + — •)*, en changeant le signe de C , ce qui

ne change aucune des deux quantités A , B , on voit que (m — — A — BC l/^7.

2“. La racine quarrèe de * ±. C\/ — 1 est de la forme a±by/ — 1 .

Pour démontrer cette propriété , nous poserons

(lV - Ci /=?= A,

+ Cl/^T=B;

d’où A* = 2(« + 4/«* + c*), B* = 2(« — yV-f C1).

La racine quarrée de «* -f- £* étant toujours plus grande que * , on voit que A* est positif et que B9 est négatif.

Soit donc A*=4u‘, B*= — 4^“ 5 o et 6 seront réels, et on aura A = 2 a, B = ib\/ — 1.

D’ailleurs, les relations (1) donnent

A + B = î V/« 4- Cy'^ï, A- B = 2 V-— d’où

\J* — ey/~ 1 = { (A— B) —a— b y/^ï.

Nous pouvons donner maintenant la démonstration du principe énoncé au commencement de cet article.

Ce principe est évident lorsque l’équation est de degré impair; car elle a nécessairement une racine réelle * (n° 203),