CHAPITRE IX

qui est comprise dans la forme générale * + £ V — * , en faisant

Il ne reste donc qu’à considérer une équation de degré pair (t) xa"4-Px>m-1+...4-Rr*4-Sx + T = o.

Pour démontrer que cette équation a une racine — i,

nous concevrons qu’on forme l’équation (3). . . p (<y) = o dont les racines sont les diverses valeurs que prend la fonction z -\-z f-pzz' lorsqu’on y met successivement au lieu de z et de %' les diverses racines a, b, c, d, e,. h , i, t, de l’équa-

tion (1) ; de sorte que les racines de l’équation (3) sont

1 a+b + pab, a + c pac, . . . , u-{-t-{-pak, j b +c + pbcy b + d-{-pbd, b ■+• A -f -pbk, (3). . . j c -f- d pcd, c -f e -{-pce c + t + pet,

( h i -f- phi , i k -f- pih .

On a vu (n° 324) que p désignant une quantité arbitraire, l’équation (2) est du degré n — m (201 — 1 ).

Cela posé :

i°. Lorsque t’exposant im n est divisible qu’une seule fois par 2, le nombre n est impair, car m et 2 m — 1 sont impairs. L’équation (2) étant de degré impair, chaque valeur réelle arbitraire de p fournit une équation qui admet au moins une valeur réelle de y (n° a63).

Les valeurs réelles de y , correspondantes aux valeurs réelles arbitraires de p, peuvent contenir successivement les sm racines a, b, c,...,k, de l’équation (i); mais la fonction z 4- z + pzx' , n’ayant que les n valeurs (3) , il en résulte qu’après avoir donné n -f- 1 valeurs à p, on aura formé n -f- 1 équations en y , qui admettront chacune une racine réelle ; de sorte qu’on aura trouvé au moins deux valeurs réelles de y qui seront composées des mêmes valeurs «, A, de z, z , et de valeurs différentes de p.

Par exemple, lorsque 2/» = 4> l’équation (1) a quatre racines a , b , c , d -, on a n — 6, et les six racines de l’équation (2) . . . <p (y) = o sont

ALGEBRE.

... fa + b+pab, a+c+pac, a + d + pad, '*'”'1 b-\-c-j-pbc, b-\-d-\-pbd, c + d-\-pcd.

Pour chaque valeur réelle de p , l’équation (2) ayant une racine réelle, l’une des six valeurs (4) de y est réelle.

Supposons que les six valeurs réelles de y, correspondantes aux valeurs réelles p, , p» , p3 , , p$ , pe , de p , soient

a-t-b + p,ab, a + c ~h p%uc , a + d-\- psad, b + c -+- P\bc , b + d+psbd, c+d-j-pecd.

Si l’on donne à p une septième valeur réelle p7 , il faudra que la valeur réelle correspondante de y renferme une des six combinaisons (4) des racines a, b, c,d, telle que a+b-\-pTab-, de sorte que a + b -f- p,-ab et a -f- b -f- p.ab , seront réels.

Soient donc «' et «‘.deux valeurs réelles de y, composées des mêmes racines a, b, et de valeurs réelles p',p ", de p} on aura

«' = a-\-b-\-p' ab- et «"=a -f-b+p’ab.

Si l’on regarde a 4- b et ab comme deux inconnues, ces équations donneront

tu iê • .

et

Les quantités et", p' , p“, étant réelles, ces expressions de a -f- b et de ab sont réelles. Mais , a et b étant deux racines différentes de l’équation (1) , le premier membre de cette équation est divisible exactement par le produit x * — (a+b)x-\-ab des facteurs x — a, x — b, correspondans à ces racines (n° 229) ; d’ailleurs les coefficiens a-\-b, ab, étant réels, l’équation ac* — (a -f- b)x ■+■ ab = o , fournit deux racines de l’équation (») qui sont nécessairement delà forme <t+C \/ — 1.

Par conséquent : Toute équation dont te degré est divisible

une seule fois par 2, admet une racine de la forme « +£ l/ — 1 • 20. Lorsque ['exposant 2m est divisible deux fois par 2, c’està-dire par 4» le nombre n =m(2m — 1) n’est divisible qu’une seule fois par2; car 2 m — 1 étant toujours impair, n et m sont divisibles le même nombre de fois par 2. Le degré n de l’équation (2) . . . <p(y) = o étant divisible une seule fois' par 2 , ijj