CHAPITRE IX

résulte de (i°) que pour chaque valeur réelle de p , l’équation (2) donne une valeur de y de la forme * + £ \/—i. Ces valeurs

de y , de la forme «+£ \/ — 1 , peuvent contenir successivement les 2m valeurs a , b , c . . , k , des racines z , z, de l’équation (1); mais la fonction z + z + pzz n’ ayant que n valeurs différentes , on verra comme (i°) qu’après avoir donné n 4- 1 valeurs à p , on aura formé n + 1 équations en y qui admettront chacune une racine de la forme *+£ V' — 1 5 sor^e qu’on aura trouvé au moins deux valeurs *' + £' V — 1 > f Ç" {/ — 1 , de y , qui seront composées des mêmes valeurs a, b, de z , et de valeurs réelles différentes p > p‘ , de p. On aura donc

«' 4. C \/~i = fl + i + p'ab , «*+ C \/~i = a 4- b + p"ab.

Si l’on regarde a 4- b et ab comme deux inconnues , ces équations donneront

Les expressions de a+6 et de aèétant de la forme *+£ V — • > on déduit des principes du n° 320 (i° et 2“) , que les racines a, b, de l’équation (i) , fournies par l’équation

(5). . . x * — (0 + 6)2: + ab = o,

sont aussi de la forme « + C \/ — 1 •

En effet, l’équation (5) donne

x = i (o + b) ±. y/| (a + by — ab ,

et les quantités a + 6, ab , étant de la forme — 1 ,• ces

deux valeurs de x sont de la forme q+r^/ — 1 ± V^+f V — 1 > et comme la racine quarréede« + £ \/ — 1 est de la même forme, on voit que les racines a, b , de l’équation (1), sont delà forme * + £ \/ — 1 ■

Par conséquent, lorsque le degré di une équation n’estdivi-» siblé que deux fois par 2, cette équation a une racine de la forme

3°. Si le degré am de l’équation (i) est divisible trois fois par a , c’est-à-dire par a’, le degré n de l’équation Q (y) = o ne sera divisible que deux fois par a ; et d’après (a°) , pour chaque valeur réelle arbitraire de p, I équation (a) admettra une valeur de^ de la forme « -f-£ l/— i. Mais on a prouvé (20) que lorsque l’équation (2) a une racine de la forme * + G [/— 1, Réquation (1) jouit de la même propriété j l’équation (1) a donc une racine de la forme m-f-Gy' — 1.

Continuant ainsi à passer du cas où l’exposant 2 m de l’équation (1) est divisible un certain nombre de foi» par 2, au cas où cet exposant est divisible une fois de plus par 2, on voit que toute équation de degré pair a une racine de la forme * -f Ce qui démontre le principe énoncé (page 54g).

327. Quand » -J- G y/ — 1 est racine d’une équation , * — £ l/ — i est racine de la même équation.

En effet , soit une équation

(1) . . . x” -hpx”-1 •+• qx -f- . . . + rx’ -f sx + t = o.

II résulte de la remarque de la page 54g , que si l’on fait successivement •r = «e-4-£v/^Iï, x = * — dans le pre-

mier membre de l’équation (i), les deux résultats de ces substitutions seront de la forme A + BG[/— ï, A — BG[/^J.

Or j •+£ }/ — 1 étant racine de l’équation (ï), A-J-BC^/ — 1 doit être nul ; ce qui exige que A et B soient séparément nuis ;

A—^BG\/ — 1 est donc également nul ; » — Gy1 — 1 est donc racine de l’équation (1).

3a8. Toute équation de dègré pair admet un facteur réel (*)

(*) On itil qu un facteur .x'-f-px+r/ est réel, quand p et q sont rcel».