Dans toute équation de degré impair

x**4"1 •+• px" -j- etc. = o ,

le premier membre est le produit d’un facteur réel du premier degré j parn facteurs réels du second degré; car cette équation ayant toujours une racine réelle a , la division du premier membre par x — a fournit un quotient du degré pair 2 n qui est décotoposable en n facteurs réels du second degré, (0° 329).

ALGEBRE.

Remarque. Il résulte des propriétés des n°* 32g et 33o, que les racines cf une équation f(x) — o ne peuvent être que de la forme — i ; car en égalant à zéro les différens facteurs

réels du premier ou du second degré de fÇx) , on obtiendra des valeurs de x de la forme , et ces valeurs de x

sont des racines de y(x) = o.

33 1. Le polynôme entier x,m+/>x*"'-l+—+sx+/ étant toujours décomposable en m facteurs réels du second degré (n° 3ag), la division de ce polynôme par x*-|-ax-4-5, conduira à un reste de la forme Ax -f- B, et le système A = o , B = o , admettra au moins m solutions réelles. On a vu (n° 3i i) comment on trouve ces solutions; et chaque facteur réel du second degré, égalé à zéro, déterminera deux racines réelles ou imaginaires de l’équation (a). . . x’B -f- px'm~‘ +. . .-j- sx -f- t— o.

Ce procédé fournit le moyen de calculer les racines réelles et imaginaires de l’équation (a). On en a donné des exemples dans le n° 3i i (pages 4g4 et 49^)-

La recherche des racines imaginaires d’une équation se trouve ainsi ramenée à déterminer les solutions réelles du système de deux équations entre deux inconnues.

332. Quand l’ équation aux quarrès des différences <p {y) =o, des racines de f (x) = o, n’a que des variations de signes , f éq nation f (x) = o a toutes ses racines réelles; car si une valeur imaginaire de x réduisait /"(x) à zéro, cette valeur serait nécessairement de la forme a -f- b[/ — i , a et 5 désignant des quantités réelles (n° 326); et l’on a vu (n° 327) que la valeur x~a — b\ / — 1 réduirait aussi /"(x) à zéro. La différence entre ces deux racines imaginaires conjuguées étant 26 \/ — 1 , l’équation <p (y) = o aurait une racine réelle négative — 4 puisque le quarré de 2 b\/ — 1 est — 4 &’» l’équation <p(y) = o, qui n’a que des variations de signes , admettrait donc une racine négative-, ce qui est impossible (page 368, 2* Remarque ). Une valeur imaginaire de x ne peut donc pas satisfaire à l’équation /(x) = o ; ce qui démontre le principe énoncé.