CHAPITRE IX

§ IV. De l’Élimination par les Jonctions symétriques, et du degré de l’équation finale.

333. La théorie des fonctions symétriques donne le moyen de former directement V équation finale qui résulte de l'élimination d’une inconnue entre deux équations à deux inconnues.

En effet, soient les deux équations générales

(1) ... xm-\-plxm-'-\-p,xm~t+p3xm~i 4 . . . 4p«ix4/>m=o,

(2) ... x*+P,x’,-1+Pax’,~1+P3X“-3 +.. .4-P„,x4-Pn=o,

dans lesquelles les coefficiens p, ,p,, f>3,— ,pm,Pi> Pa, P3,...,P„, sont des fonctions connues de y.

Si l’on pouvait résoudre l’équation (1) par rapport à x, on obtiendrait m valeurs a, b , c . . , k , de x, qui seraient des fonctions connues de y , et en les substituant successivement dans l’équation (2) , les m équations résultantes

) 4- 4- P ,4»- + P.6--* 4 - • • 4 Pn-.i 4 P, = o,

( fe.4p.fe— 4. P.A— 4-. ..4 P.-,*4-P. = o,

détermineraient toutes les valeurs de y qui conviennent aux équations proposées; de sorte que pour obtenir l’équation finale çi(y) = o qui résulte de l’élimination de x entre les équations (1) , (2) , il suffit d’égaler à zéro le produit des premiers membres des équations (3). Ce qui s’accorde avec ce qu’on a vu dans le n° 282.

Ce dernier principe peut aussi se déduire des propriétés du n° 284, en concevant qu’on décompose les premiers membres des équations proposées, en facteurs du premier degré par rapport à x; car les m valeurs de x tirées de l’équation (1) étant a, b , c,. . . , t , cette équation revient à

(4). . . (xr- a) (x — b) (x — c). . .(x— *) = o,

et si l’on désigne par A,B,C N , les n valeurs de x tirées

de l’équation (2), celte équation reviendra à

Les quantités a, b , c . . , k, A, B , C, . . . , N, sont des fonctions de y.

Or , on a vu (n° 284) , que toute valeur de y qui satisfait au système des équations (4) , (5 y , jouit de la propriété, quami on la substitue dans les premiers membres de ces équations, d’introduire un commun diviseur en x entre les fonctions de x qui en résultent ; et que réciproquement, toute valeur de y qui introduit un commun diviseur en x entre les premiers membres des équations (4), (5), convient au système de ces équations.

Une valeur de y qui convient aux équations proposées, doit donc satisfaire à l’une des mn conditions

b— A, t = B, jfc = C,..., jfr =N ; et réciproquement, toute valeur de y qui satisfait à une de ces mn conditions, convient au système des équations (4), (5).

Par conséquent, pour former l’équation en y, qui détermine toutes les bonnes valeurs de y et qui n’en donne pas d’autres, il suffît d’égaler à zéro le produit des mn facteurs

Mais , on obtiendrait le même résultat en faisant successivement x=a, x — b , . . . , xx=i, dans (5) , et en égalant à zéro le produit des premiers membres des m équations résultantes, (a — A) (a — B) (a— C)... (a — N) =0,

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