CHAPITRE IX

5Sg

Or, l’équation (5) n’est que l’équation (2) mise sous une autre forme; il revient donc au même de faire successivement x—a, x=é, x — c, . . . , x= k, dans (a), ce qui fournit les m équations (3), et d’égaler ensuite à zéro le produit des premiers membres des m équations (3).

Par conséquent, si les fonctions de y représentées par a, b, c, . . . , k , étaient connues, on obtiendrait l’équation finale demandée <p(y) — o, en égalant à zéro le produit des premiers membres des m équations (3).

Mais, le but qu’on se propose étant de former l’équation <p (y) = o , sans résoudre l’équation (1) par rapport à x, les fonctions a, b, c, . . . , b , sont inconnues; de sorte que la question se réduit k faire disparaître les inconnues j c,. ,

qui se trouvent dans le produit des premiers membres des équations (3).

On y parvient à l’aide des propriétés des fonctions symétriques. En effet, les m équations (3) ne faisant que se changer les unes dans les autres, lorsqu’on change l’une quelconque des quantités a, b, c, . . . , b , en une autre de ces quantités, leur produit ç (.y) qui contient, a, b, c, . . . , t, P,', P,, . . . , P„, est une fonction symétrique des m quantités a, b< c, . . . , i ; et par conséquent, si l’on effectue les multiplications, le* termes du produit ^(y), groupés d’une manière convenable, seront des fonctions symétriques des racines? a, b, c,,.,. , b, de l’équation (1); on pourra donc exprimer ces fonctions symétriques au moyen des coefBciens />,,/?,, J03, . . . ,pm, de cette équation (n° 32a) ; et comme ce produit contient les coefliciens P,, P„, P3 , . . . , P„ , de l’équation (2) , on parviendra à une expression de ç (y) qui ne renfermera plus les racinés inconnues a, b , c, . . . , tt et qui sera une fonction rationnelle des coefficiens des deux équations proposées. De sorte que(^y) = o sera l'équation finale en y qui détermine toutes les bonnes valeurs de y et qui n’en donne pas d’autres.

Ce procédé d’élimination offre le grand avantage de fournir directement l’équation finale qui ne renferme que les bonnes valeurs de y\ mais il a l’inconvénient de conduire à des calculs

plus compliqués que ceux qui résultent de la méthode d’élimination par le plus grand commun diviseur.

Ier Exemple. Soit proposé d’éliminer x entre les équations

(i),.. x’+px -f- q = o, (a)... x’-f-Px-fQ=o,

dans lesquelles p, q, P etQ, sont des fonctions données de y- Si a et 6 désignent les valeurs de x , fonction de y , qui satisfont à la première équation , quelle que soit y , ces valeurs devant convenir à la seconde équation, on a

a*-|-Pa-f-Q=o, 6* + P6-f-Q = o,

et l’on a démontré que l’équation qui détermine toutes les bonnes valeurs de y et qui n’en donne pas d’autres, est

(a* + Pa + Q) (6* + P6 + Q) = o ,

ou en effectuant la multiplication indiquée,

(3)...a’ô,+PCafr*-|-ias)+Q(n,+t!1)4-P,,aè4-PQ(a-f-6)+Q,=o.

Les coefficiens de P, Q, P3, PQ, sont des fonctions symétriques des racines a, 6 , de l’équation (i), et l’on a