V. ÏK jB
; » vfce
C*) Lequolient xm~~i -baxm~9 +a%xm—* ,
renferme m termes; les points tiennent la place dés termes compris entre a*xm—z et am—3x* ; ces termes sont^oua;^ è h» même loi que les premiers, ç’est-à-dirc qu’en passant d’un terme au suivant, l’exposa ni de a mtgmenic de l’unité, et celui de x diminue de l’unité; il eu résulte que. le quotient est uu polynôme homogène du m — tw"« degré.
34 ALGEBRE,
ear en multipliant le quotient
parle diviseur x-*-a, le produit se réduit au dividende xn — a”.
La relation- (i)t ayant.lieu quel que soit a, on y peut changer a en — a; les puissances impaires de a changeront de 'signe, et le* puissatices'paires ne changeront pas (n° 16). \
Par conséquent, selon que tn est un nombre pair ou impair , la formule (i) devient
aa+a*=<*'; —<»*-• .+a‘x^a . . . ..... ,
— o®"-* +a**”-s — +am- 3x» — a"—x+ a"— > .
Pour dèmnntrêr directement que x” — 0“ est divisible par X— -a, on effectué le produit de x“— a" par x-f-a, et l’on trouve que ... ’ ' , ■
(x”.— a”) X{x -f a ) a= (x""^1 — a"i+>) + ax (xm-, — am~‘ ) ; d’où (3)...(xm+’— am+l) = (xm— a”) (x-f a) — ax(xm-'— am~’ ) .
L’égalité (a) démontre que si x1"-’ — a”-1 et xm — am sont divisibles par x — a, le binôme xm+' — a"-*-* sera également divisible par x t— a.
Or, il est facile de s’assurer, en effeotuant la division, que x — a. et xs — a* sont divisibles par x — a ; donc x3 — a3 sera
divisible par x—a. D’après le même principe, x“— a* et x3 a3
étant divisibles par x — a, le binôme a4— a* sera divisible par x — a. Et ainsi de suite.
Le binôme xm — a” est donc divisible par x — a.
On peut en conolure que selon que rh est un nombre pair ou impair^, x+ « divise evactetfient xm—am ou x”-+-an-, car x” — am étant divisible par ç — a, quel que soit le signe de a, si l’on changea en — a , le binôme xm— (^-à)” sera divisible par x 4- a, et suivant que m est pair ou impair, x“— . ( — a)m se réduit à‘xra — a" ou à x* + am. * ,
Remarque. Lorsqu’on connaît les quotiens P, Q, de xm—am e l x ~~ n™ par x — a, la relation (2) donne le moyèn de
