III. DES FRACTIONS LITTÉRALES

3o. Lorsque le dividende ne contient pas tous les facteurs du diviseur , la division ne peut s’effectuer exactement. Le quotient total est composé d’un entier, et d’une fraction dont le numérateur est le dernier reste et dont le dénominateur est le diviseur.

On devra toujours considérer une fraction algébrique comme indiquant le quotient de la division du numérateur par le dénominateur.

Les propriétés qui ont été démontrées , en Arithmétique , sur les fractions, conviennent aux fractions littérales. Mais, comme les raisonnemens dont on a fait usage paraissent exiger que le numérateur et le dénominateur soient des nombres entiers , et comme d’ailleurs cette condition n’a pas lieu pour les fractions littérales, il est convenable de démontrer généralement ces propriétés.

Pour y parvenir, nous allonsd’abord faire voir qu’une fraction ne change pas de valeur, quand on multiplie ou quand on divise s es deux termes par une meme quantité.

En effet ; soit g = <7.

Le quotient de a par b étant q, le dividende a est égal au produit bq du diviseur b parle quotient q\ de sorte que a — bq. On en déduit ,

a X n =■ bq X n = bn X q, q —

Donc

aXn t an

'bXn ' bn

Ce qui déuiontre Le principe énoncé.

ALGElîRE.

Il est facile «le déduire de ce principe les propriétés suivantes : i°. Lorsqu’on aperçoit des facteurs communs aux deux termes d’une fraction, on la simplifie , sans changer sa valeur, en supprimant ces facteurs communs.

abeden ace 1 2a3b*cd:lm 4 ad'm

i Sa’b^cdn

Ainsi,

ace

mp ’

bdmnp '

a*. Pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur , sans changer leurs valeurs, il suffit de multiplier les deux termes de chacune d’elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres.

Par exemple, les fractions

réduites au même dénominateur , deviennent

adfnq cbfnq ebdnq mbdfq bdfnq * bdfnq * bdfnq ' bdfnq ’

3°. Le plus petit dénominateur commun à plusieurs fractions, est la plus petite quantité divisible par chacun des dénominateurs de ces fractions , ( Arithm. , n° 54 , page 5a ). i er exemple. Soient les fractions

pbdfn

bdfnq'

En les réduisant à leur plus petit dénominateur commun b*t?d , elles deviennent

ab’d fc ebdcd

bWd’ b'dQ’ TW’

a* exemple. Soient les fractions

na qf 3e

qib^c3' 6ÔS*c*S’ i q5bc*'

Le plus petit nombre divisible par 7a , 60 et 1 q5 étant 1 a6oo ( Arithm. , n° 5i ), le plus" petit dénominateur commun est i26ooob*<?d-, et les fractions proposées , réduites à ce dénomi-