CHAPITRE IX

334- Lorsqu’on élimine une inconnue entre deux équations à deux inconnues > le degré de F équation finale est tout au plus égal au produit des degrés des équations entre lesquelles' on élimine. j ■ . - 1 . , , ,

E11 effet, soient les deux équations générales à deux inconnues

(1) . » . p,Xm-'+ptXm~*+. . +pm-lX+pm=0, .

(2) . . . x" +P,x— ’-fP.x— *+ . . . + PB. x+P. =0.

■ L’équation (t) étant supposée dam’*"' degré, les plus forts exposant dey' dans j>x , p%, ps , etc. , sont.i, 2, 3, ptc-i-jet l'équation (2) étant du nt*m< degré, les plus fort» exposons de y dans P, , P», Pj, etc. ,sont 1 , 2, 3» etc. Do sorte que les indices des lettres p, P, dans les coefficiens p,, p„,. . . , pm, P,, P, ,. . P» marquent les degrés de ces coefficient par rapport à y. '

. Pour éliminer x entre les équations (1), (2) , représentons . para, b,c,i ,.,k, les m racines de ,1’équatipn (i)j. on a vu (n° 333) que l’équaliontinaleen ^s’obtient en faisant successivement x==a, x = A , . . . , x=k, dans le premier membre de l’équation (2) , et en égalant à zéro le produit des m polynômes résultans . ; . . .

!ak.#P>-; +P^0— . e^V.Ja ’+ Par 6-+P,6— +P46--*4-. . . . + Pn^,b +Pn; .... c* +pic»->+P.ç’— P^;c + P“>

kn + P1A*"‘-f P.A"-“ +..x..-f,P*,A-f P.'. , . • ’ •>

• Pour déterminer le degré du produit des m polynômes (3), nous observerons d’abord que si l’on multiplie entre eux les m termes qui se trouvent dans; l’une quelconque des colonnes verticaleg (3), leur produit sera du degré mn par rapport a yv

En effet < ces ro termes étant dé la iôcme • ■ . ,

■ Paan^, PJ"-*,

leur produit est (P.)"Cp6c. . .k)n^A, Pw CfuT&Ps#™ y . car >-abc. . ./< = d^pm{n° Qrs les .plug grand* exposa us

de y dans P^ct/Jm sont respectivement» et m; le plus fort expo*

sant de y dans (Pa}m(±pm)'*— * est donc tan -f- m (n — *),' ou mXn.

Nous allons faire voir que tous les autres termes du produit total des m polynômes (3) sont aussi du degré mn ; à cet effet, considérons un terme quelconque de chacun des m polynômes (3); il résulte de la notation adoptée, que ces m termes seront respectivement de la forme

PJl»—

et que les plus forts exposans de y dans les coefficiens P,, P< » P.J, , . . ; , P„ , seront marqués par les indices », C, y,..., u. Multipliant donc ces m termes entre eux, le résultat- ' \ t • » •

(PaP:P y . .P.) (an-*bn-Ccn-y. . .kn~“),

représentera un terme quelconque du produit total.

D’ailleurs , P^fP^. . .Pa sera encore le coefficient d’autres termes du produit total, puisque tous les coefficiens P„, Pj, P^, — , P^, entrent dans chacun des m polynômes (3).

Si l’on réunit tous les termes du produit total qui sont affectés du coefficient P^PçP . . ,Pa., lit somme des quantités qui multiplieront "ce coefficient sera nécessairement composée de tous les termes qui entrent dans la fonction symétrique T (an— *bn~~ :cn~ >■. . ./t"-*); car le produit total devant être une fonction symétrique des m racines a ,b , c,. . . , t , de l’équation (i) , l’ensepible des termes de ce produit qui sont affectés d’un même coefficient PaPfP^. . . Ps , doit être une fonction symétrique d e à , b , c , t (*). •*. ; .' -

Cela est d’ailleurs évident; car si Ja somme des termes qui multiplient P^PjP^. . , P^ , n’était pas une fonction symétrique <Ves quantités a , b,c , .* . . >Jt , cette somme ne resterait pas la

(*J L*s cxrmplci <}W pag« S6o ri Jfii , V*i ifienl ente propmù.