CHAPITRE IX
même lorsqu'on changerait quélqùes-Hmes des quantités a, b,
v k, les unes dans lés autres ; le produit total changerait donc; ce qui est impossible, puisque ce produit est une fonction symétrique de a , b, c,. . . , h.
Le terme général du produit des m polynômes. (3) est donc
(PaPfPv. . .P4) X T( f~*bn-^cn-^; . ,kn-*).
Il s’agit de faire voir que le plus fort exposant de y 'dans ce terme général est rnn. • •
Les plus grands exposans de .y dans P^, Pj, P^,.i., Ptt étant respectivejnent * , Q , y le coefficient PaPçPy . Pu ,
est du degré * -f- G + y -f . . .. -f- « , par rapport à y.
Tout se réduit donc à prouver que a , c , . » , h , exprimant lés m racines de l’équation la plus générale du Miim‘ degré à deux inconnues x, y \ '• - :
(i) . . . xm + pyxm~l + pxX*^% + . . . -f- pm,x + pm = 0 ,
le plus fort exposant de y dans la fonction symétrique..-.'. rP(a?~*bnVicn *. . \kn'~m) est la somme y-j-.-.-f-*) .
des m exposans n — *, n — • G , n — y ,... . , n1 — « , des m lettres a,b,c,...)b1 qui entrent1 dans' cette fonctlôu. . < ' .«
Or, les formule? {4) (p^6e 53i) , <■, ■' /
Si-+-pi = o, sa+p,s,-f-lpi^=o, sj-f-p1s4-f-p,5[-f 3p3==o, etc,,
démontrent que les plqs forts exposans de y dans les sommes ii> J» >.hi .V.,eté», Sont respectivement égaux aux indices 1 , a,, 3,,. .'. , etc. , de ces sommes; car p, étant du i*r degré en y ,1a ir* relation J, ,+ />, = o prouve que s, sera ausSi du i‘r degré; dans la 2* rélatiop sx-irlpxSl + ipx = o, les tenues p,s, ,. ap4 , étant du 2* degré en y , s , sera du même degré ; et ainsi de suite. . . • -••• • .•
Une somme qûelconque s, esf donc dù degré r en y.
Les sommes s^, s' * Sy , etc-, étant respectivement des de1grés u , C, y, etc., par rapport à y , les ' formules générales du n°..3ai,',-' • <;* • ? .. *' ' -* •
T(o‘ic) = Vc — *«+£»
T (a*£Cc*)==VC-çy— Vf+>-r-sC**+y J ,>J*+C+«»«+>>clc'>
font voir que les plus forts exposans de y dans les fonctions sy métriques T (o^O. T (a?b*cy) , etc., sdnt respectivement égauxaux sommes, «-$-£, a + £ + y, etc.,, quels que soient», C, y, etc. L.e plus grand exposant de y dans la fonction symétrique T(a,,— ' ,Lba~£cn~>. ..F'-") èstdonc égal à la somme mil — £ -J- y -f- . -f- «) des in exposans n — «, n — C,
Mais, on a vu précédemment que P^PjP^. . .Pa est dit degru « -)- ? -f- y -f-. . + » , par rapport a y, le plus fort exposant de y dans le terme général
* (P^cPy • • • Pi) X T (à* ,
est donc . • .
(m + C 4-y -f-. . . -f *) + nm — (<* -f- C-+»y + . • • + “)> ou mn-
Ce qui démontre le principe énoncé. , . t
Remauque. Èant que les coeificiens îles inconnue* aè , y, dans les équations générales (i), .(2), (page 563) , sont arbitraires, Pélïmination de l’une quelconque de ces- inconnues conduit à une équation finale du degrç mn \ de sorte que ces équations admettent mn solutions communes. Mais, quand des coediciens indéterminés prennent des valeurs particulières Ou, sont soumis à certaines conditions, des termes de l’équation finale pouvant disparaître, le degré de celte équation et le nombre des solutions communes aux équations primitives peuvent devenir moindres que rr\,n. . ; '• * . •
Ainsi , dans le t*r exemple de la page-56o, lorsqu’on suppose
que chacune des équations , . ■
.. . * x’ px 4- q ~ o , x* + Px + Q=o,- „f>.
est tlu second degré, l’équation finale en y . , . /„• ...
f — Ppg + () (/>*'— 27) + t*y — PQ> + <?* = *>V *'
CflÀPiTRE IX. , 567
esLda quatrième degré, car p et.P sout.du premier degré enjTj et les derniers termes q , Q, sont da second degré.
Mais, quand On donne aux coefiiciens p , y, P, Q, les valeurs particulières
/*ss— C^r+a) , q—iy'+q.yy P=— 5(y— i), Q=Gy*— 1 l’équation finale se réduit à '
et les équations proposées
• ap^iSy +.•») x + ay? + ty =.«,
n’admettent que lés trois solutions communes
^f=i, * = » H y=*' *=;a IL^ = *=i4?
Et en effet , s* l’on, résout les équations proposées par rapport à y, on reconnaîtra qu’elles reviennent à
Pour trouver toutes leurs solutions communes, on pose
x — y=-o‘, x — 2.y -pV=o, d’où J==i, x== I. x — y — o , > ' . x — 3 y -p 4 ==- ® » d’où y = 2 , x = 2 .. x — o.y— 23=o, x — 3,y “h 4 — d’où y== 6, x=t4;-.
' Enfin, des valeurs finies de x et J ne pouvant, pas satisfaire au derfiier système ; ' •
;• x— 'Viy-^-z — o, x — a y + i = o,
on voit que les équations proposées n’admettent que les trois solutions indiquées. ; ^ \ j , .•
M. Poisson a démontré directement ce théorème plus general, que lorsqu" OA élimine m — * ï inconnues è/itre m équations contenant m inconnues > le degrède .l’ équation 'finale est égal tout au plus au produit des nombres qui marquent les degrés des ni équations données, -Les élèves qui voudront connaître dette démonstration pourront coqsulter le onzième cakieü- du Tourjiat dt lé^coli.polyU.chnii^i{e (page 119).. -
ALGEBRE.
§ Y. Démonstration de la formule du binôme de Newton, quel que soit l’exposant de la puissance.
335. Nous avons vu {page 243) , que m désignant un nombre eniier positif, le développement de (x -f- *)m est
Nous allons démontrer que le même développement convient encore lorsque l’exposant m est fractionnaire ou négatif.
L’identité (x + «)m = ^ i ^~J = xm ^ i -f- ^
prouve que la miim‘ puissance dij binôme x -f- * ne dépend que de la même puissance d’ttn binôme de la forme i -f-a.
Il suffit donc de chercher le développement de ( l -f- a)"1.
